Algorithmes – Bac S Amérique du Nord 2014

Exercice 4   (5 points)

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Un volume constant de 2 200 $ \text{m}^{3} $ d'eau est réparti entre deux bassins A et B.

Le bassin A refroidit une machine. Pour des raisons d'équilibre thermique on crée un courant d'eau entre les deux bassins à l'aide de pompes.

On modélise les échanges entre les deux bassins de la façon suivante :

• au départ, le bassin A contient 800$ \text{m}^{3} $d'eau et le bassin B contient 1 400 $ \text{m}^{3} $ d'eau ;
• tous les jours, 15 % du volume d'eau présent dans le bassin B au début de la journée est transféré vers le bassin A ;
• tous les jours, 10 % du volume d'eau présent dans le bassin A au début de la journée est transféré vers le bassin B

Pour tout entier naturel $ n $, on note :

• $ a_{n} $ le volume d'eau, exprimé en $ \text{m}^{3} $, contenu dans le bassin A à la fin du n-ième jour de fonctionnement;
• $ b_{n} $ le volume d'eau, exprimé en $ \text{m}^{3} $ , contenu dans le bassin B à la fin du n-ième jour de fonctionnement.

On a donc $ a_{0} = 800 $ et $ b_{0} = 1 400 $.

1. Par quelle relation entre $ a_{n} $ et $ b_{n} $ traduit-on la conservation du volume total d'eau du circuit ?
2. Justifier que, pour tout entier naturel $ n $, $ a_{n+1} =\dfrac{3}{4}a_{n} + 330 $.

3. L'algorithme ci-dessous permet de déterminer la plus petite valeur de $ n $ à partir de laquelle

   $ a_{n} $ est supérieur ou égal à 1 100.

   Recopier cet algorithme en complétant les parties manquantes.

   Variables	$ n $ est un entier naturel
   	$ a $ est un réel
   Initialisation	Affecter à $ n $ la valeur $ 0 $
   	Affecter à $ a $ la valeur $ 800 $
   Traitement	Tant que $ a < 1 100 $, faire :
   	$ \quad $Affecter à $ a $ la valeur . . .
   	$ \quad $Affecter à $ n $ la valeur $ n + 1 $
   	Fin Tant que
   Sortie	Afficher $ n $

4. Pour tout entier naturel $ n $, on note $ u_{n} = a_{n} - 1 320 $.

   1. Montrer que la suite $ \left(u_{n} \right) $ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
   2. Exprimer $ u_{n} $ en fonction de $ n $.
      
      En déduire que, pour tout entier naturel $ n $, $ a_{n} = 1 320 - 520\times \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n} $.
   3. On cherche à savoir si, un jour donné, les deux bassins peuvent avoir, au mètre cube près, le même volume d'eau.
      
      Proposer une méthode pour répondre à ce questionnement.