Suites – Bac S Amérique du Nord 2013

Exercice 2   (5 points)

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On considère la suite $ \left(u_{n}\right) $ définie par $ u_{0}=1 $ et, pour tout entier naturel $ n $,

1. On considère l'algorithme suivant :

   Variables :	$ n $ est un entier naturel
   	$ u $ est un réel positif
   Initialisation :	Demander la valeur de $ n $
   	Affecter à $ u $ la valeur 1
   Traitement :	Pour $ i $ variant de 1 à $ n $ :
   	$ \quad $Affecter à $ u $ la valeur $ \sqrt{2u} $
   	Fin de Pour
   Sortie :	Afficher $ u $

   1. Donner une valeur approchée à $ 10^{ - 4} $ près du résultat qu'affiche cet algorithme lorsque l'on choisit $ n=3 $.
   2. Que permet de calculer cet algorithme?

   3. Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées obtenues à l'aide de cet algorithme pour certaines valeurs de $ n $.

      $ n $	1	5	10	15	20
      Valeur affichée	1,4142	1,9571	1,9986	1,9999	1,9999

      Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite $ \left(u_{n}\right) $ ?

2. 1. Démontrer que, pour tout entier naturel $ n, 0 < u_{n}\leqslant 2 $.
   2. Déterminer le sens de variation de la suite $ \left(u_{n}\right) $.
   3. Démontrer que la suite $ \left(u_{n}\right) $ est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.

3. On considère la suite $ \left(v_{n}\right) $ définie, pour tout entier naturel $ n $, par $ v_{n}=\ln u_{n} - \ln 2 $.

   1. Démontrer que la suite $ \left(v_{n}\right) $ est la suite géométrique de raison $ \dfrac{1}{2} $ et de premier terme
      
      $ v_{0} = - \ln 2 $.
   2. Déterminer, pour tout entier naturel $ n $, l'expression de $ v_{n} $ en fonction de $ n $, puis de $ u_{n} $ en fonction de $ n $.
   3. Déterminer la limite de la suite $ \left(u_{n}\right) $.

   4. Recopier l'algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions du traitement et de la sortie, de façon à afficher en sortie la plus petite valeur de $ n $ telle que $ u_{n} > 1,999 $.

      Variables :	$ n $ est un entier naturel
      	$ u $ est un réel
      Initialisation :	Affecter à $ n $ la valeur $ 0 $
      	Affecter à $ u $ la valeur 1
      Traitement :	...
      Sortie :	...

Corrigé

Solution rédigée par Paki