Suites – Bac ES/L Métropole Réunion 2016
Exercice 2 - 5 points
Candidats de ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L
Un loueur de voitures dispose au 1er mars 2015 d'un total de 10 000 voitures pour l'Europe.
Afin d'entretenir son parc, il décide de revendre, au 1er mars de chaque année, 25% de son parc automobile et d'acheter 3 000 voitures neuves.
On modélise le nombre de voitures de l'agence à l'aide d'une suite:
Pour tout entier naturel $ n $, on note $ u_n $ le nombre de voitures présentes dans le parc automobile au 1er mars de l'année $ 2015+n $.
On a donc $ u_0=10000 $.
- Expliquer pourquoi pour tout entier naturel $ n $, $ u_{n+1}=0,75 u_n+3000 $.
Pour tout entier naturel $ n $, on considère la suite $ \left(v_n\right) $ définie par
$ v_n=u_n - 12000 $.
- Montrer que la suite $ \left(v_n\right) $ est une suite géométrique de raison 0,75. Préciser son premier terme.
Exprimer $ v_n $ en fonction de $ n $.
Déterminer la limite de la suite $ \left(v_n\right) $.
- Justifier que, pour tout entier naturel $ n $, $ u_n=12000 - 2000 \times 0,75^n $.
- En vous appuyant sur les réponses données aux deux questions précédentes, que pouvez-vous conjecturer sur le nombre de voitures que comptera le parc automobile de ce loueur au bout d'un grand nombre d'années?
On admet dans cette question que la suite $ \left(u_n\right) $ est croissante.
On aimerait déterminer l'année à partir de laquelle le parc automobile comptera au moins 11950 voitures.Recopier l'algorithme suivant et compléter les pointillés afin qu'il permette de répondre au problème posé.
Initialisation U prend la valeur 10000 N prend la valeur 0 Traitement Tant que ... N prend la valeur ... U prend la valeur ... Fin Tant que Sortie Afficher ... - À l'aide de la calculatrice, déterminer l'année recherchée.
Retrouver ce résultat en résolvant l'inéquation
$ 12000 - 2000\times 0,75^n \geqslant 11950 $.
Corrigé
D'après l'énoncé, le loueur revend 25 % de son parc chaque année, ce qui signifie qu'il en conserve $ 1 - 0,25 = 0,75 $ soit 75 %.
De plus, il achète 3 000 voitures neuves chaque année.
Si $ u_n $ est le nombre de voitures au 1er mars de l'année $ 2015+n $, alors le nombre de voitures l'année suivante est :$ u_{n+1} = 0,75 u_n + 3000 $Pour tout entier naturel $ n $, on a $ v_n = u_n - 12000 $, soit $ u_n = v_n + 12000 $.
Calculons $ v_{n+1} $ :
$ v_{n+1} = u_{n+1} - 12000 $
$ v_{n+1} = (0,75 u_n + 3000) - 12000 $
$ v_{n+1} = 0,75(v_n + 12000) - 9000 $
$ v_{n+1} = 0,75 v_n + 9000 - 9000 $
$ v_{n+1} = 0,75 v_n $La suite $ \left(v_n\right) $ est donc une suite géométrique de raison $ q = 0,75 $.
Son premier terme est :$ v_0 = u_0 - 12000 = 10000 - 12000 = - 2000 $Puisque $ \left(v_n\right) $ est géométrique, son terme général est $ v_n = v_0 \times q^n $.
Pour tout entier naturel $ n $ :$ v_n = - 2000 \times 0,75^n $Limite de la suite v :
Comme $ - 1 < 0,75 < 1 $, on a $ \lim\limits_{n \to +\infty} 0,75^n = 0 $.
On en déduit :$ \lim\limits_{n \to +\infty} v_n = 0 $On sait que $ u_n = v_n + 12000 $, donc :
$ u_n = 12000 - 2000 \times 0,75^n $- Comme $ \lim\limits_{n \to +\infty} v_n = 0 $, on a $ \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 12000 $.
D'autre part, comme $ 0,75^n > 0 $, on a $ u_n < 12000 $.
Au bout d'un grand nombre d'années, on peut conjecturer que le nombre de voitures du parc automobile se stabilisera à 12 000.
Voici l'algorithme complété :
Initialisation U prend la valeur 10000 N prend la valeur 0 Traitement Tant que $ U < 11950 $ N prend la valeur $ N+1 $ U prend la valeur $ 0,75 \times U + 3000 $ Fin Tant que Sortie Afficher $ 2015+N $ - À l'aide de la calculatrice, on cherche la plus petite valeur de $ n $ telle que $ u_n \geqslant 11950 $ :
$ u_{12} = 11950 - 2000 \times 0,75^{12} \approx 11936,6 $
$ u_{13} = 11950 - 2000 \times 0,75^{13} \approx 11952,4 $
La condition est vérifiée pour $ n = 13 $.
L'année recherchée est donc $ 2015 + 13 = 2028 $. Résolvons l'inéquation :
$ 12000 - 2000 \times 0,75^n \geqslant 11950 $
$ - 2000 \times 0,75^n \geqslant - 50 $
$ 0,75^n \leqslant \dfrac{-50}{-2000} $
$ 0,75^n \leqslant 0,025 $
$ \ln(0,75^n) \leqslant \ln(0,025) $
$ n \times \ln(0,75) \leqslant \ln(0,025) $$ n \geqslant \dfrac{\ln(0,025)}{\ln(0,75)} $ (car $ \ln(0,75) < 0 $)
$ n \geqslant \dfrac{- 3,6888}{- 0,2876} \approx 12,82 $
On retrouve $ n = 13 $, soit l'année 2028.