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Suites – Bac ES/L Métropole 2015

Exercices

Exercice 2 – 5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

Le fonctionnement de certaines centrales géothermiques repose sur l’utilisation de la chaleur du sous-sol. Pour pouvoir exploiter cette chaleur naturelle, il est nécessaire de creuser plusieurs puits suffisamment profonds.

Lors de la construction d’une telle centrale, on modélise le tarif pour le forage du premier puits par la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul, par :

$u_n = 2000 \times 1,008^{n – 1}$

où $u_n$ représente le coût en euros du forage de la $n$-ième dizaine de mètres.

On a ainsi $u_1 = 2000$ et $u_2 = 2016$, c’est-à-dire que le forage des dix premiers mètres coûte 2000 euros, et celui des dix mètres suivants coûte 2016 euros.

Dans tout l’exercice, arrondir les résultats obtenus au centième.

  1. Calculer $u_3$ puis le coût total de forage des 30 premiers mètres.

  2. Pour tout entier naturel $n$ non nul :

    1. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ et préciser la nature de la suite $\left(u_n\right)$.

    2. En déduire le pourcentage d’augmentation du coût du forage de la $(n+1)$-ième dizaine de mètres par rapport à celui de la $n$-ième dizaine de mètres.

  3. On considère l’algorithme ci-dessous :

    INITIALISATION
    $u$ prend la valeur 2000
    $S$ prend la valeur 2000
    TRAITEMENT
    Saisir $n$
    Pour $i$ allant de 2 à $n$
    $u$ prend la valeur $u \times 1,008$
    $S$ prend la valeur $S+u$
    Fin Pour
    SORTIE
    Afficher $S$

    La valeur de $n$ saisie est 5.

    1. Faire fonctionner l’algorithme précédent pour cette valeur de $n$.

      Résumer les résultats obtenus à chaque étape dans le tableau ci-dessous (à recopier sur la copie et à compléter en ajoutant autant de colonnes que nécessaire).

      Valeur de $i$ 2 … …
      Valeur de $u$ 2000 … … …
      Valeur de $S$ 2000 … … …

    2. Quelle est la valeur de $S$ affichée en sortie ? Interpréter cette valeur dans le contexte de cet exercice.

  4. On note $S_n = u_1+u_2+\cdots +u_n$ la somme des $n$ premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$, $n$ étant un entier naturel non nul. On admet que :

    $S_n = – 250000+250000 \times 1,008^n$.

    Le budget consenti pour le forage du premier puits est de 125 000 euros, On souhaite déterminer la profondeur maximale du puits que l’on peut espérer avec ce budget.

    1. Calculer la profondeur maximale par la méthode de votre choix (utilisation de la calculatrice, résolution d’une inéquation …).

    2. Modifier l’algorithme précédent afin qu’il permette de répondre au problème posé.

Corrigé

  1. $u_3=2000 \times 1,008^2 \approx 2 032,13$

    Le coût total de forage des 30 premiers mètres est donc :

    $u_1+u_2+u_3 \approx 2000+2016+2 032,13 \approx 6 048,13$

    1. Chaque terme de la suite $(u_n)$ s’obtient en multipliant le terme précédent par $1,008$, donc pour tout entier $n$ :

      $u_{n+1}=1,008 \times u_n$

      La suite $(u_n)$ est une suite géométrique de premier terme $u_1 = 2 000$ et de raison $q = 1, 008$.

    2. Si $t$ représente le taux, en pour-cents, correspondant au coefficient multiplicateur $1,008$ :

      $1+\dfrac{t}{100}=1,008$

      $\dfrac{t}{100}=0,008$

      $t=0,8$

      Le pourcentage d’augmentation du coût du forage de la $(n+1)$-ième dizaine de mètres par rapport à celui de la $n$-ième dizaine de mètres est de $0,8$%

    1. Valeur de $i$ 2 3 4 5
      Valeur de $u$ 2000 2016 2032,13 2048,39 2064,77
      Valeur de $S$ 2000 4016 6048,13 8096.51 10161,29

    2. La valeur affichée en sortie est $10161,29$. Cette valeur correspond au coût total, en euros, de forage des 50 premiers mètres.

    1. On recherche la plus grande valeur de $n$ telle que $S_n < 125000$ :

      $S_n < 125000 \Leftrightarrow - 250000+250000 \times 1,008^n < 125000$

      $\phantom{S_n < 125000} \Leftrightarrow 250000 \times 1,008^n < 125000+250000$

      $\phantom{S_n < 125000} \Leftrightarrow 1,008^n < \dfrac{375000}{250000}$

      $\phantom{S_n < 125000} \Leftrightarrow 1,008^n < 1,5$

      En appliquant à chaque membre la fonction $\ln$ qui est définie et strictement croissante sur $]0 ; +\infty[$ :

      $\phantom{S_n < 125000} \Leftrightarrow \ln(1,008^n) < \ln 1,5$

      $\phantom{S_n < 125000} \Leftrightarrow n \ln(1,008) < \ln 1,5$

      Comme $\ln(1,008)$ est strictement positif :

      $\phantom{S_n < 125000} \Leftrightarrow n < \dfrac{\ln 1,5}{\ln(1,008)} \approx 50,9$

      La plus grande valeur possible pour $n$ est donc $n=50$.

      La profondeur maximale du puits que l’on peut espérer avec ce budget est donc 50 dizaines de mètres (ou 500 mètres).

    2. INITIALISATION
      $u$ prend la valeur 2000
      $S$ prend la valeur 2000
      $i$ prend la valeur 1
      TRAITEMENT
      Tant que$S < 125000$ $u$ prend la valeur $u \times 1,008$ $S$ prend la valeur $S+u$ $i$ prend la valeur $i+1$ Fin Tant que SORTIE
      Afficher $i - 1$

      Remarques : A la sortie de la boucle $i$ représente la valeur de l’indice pour laquelle le coût dépasse 125000 euros. Comme on souhaite une valeur de $i$ pour lequel ce coût reste inférieur, il faut afficher la valeur précédente, c’est à dire $i – 1$.

      Le résultat de l’algorithme est donné en dizaines de mètres. Il faut multiplier ce résultat par 10 si on veut le convertir en mètres (non précisé dans l’énoncé).

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