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Suites – Bac ES/L Pondichéry 2013

Exercice 3   (5 points)

Commun à tous les candidats

Le 1er janvier 2000, un client a placé 3000 euros à intérêts composés au taux annuel de 2,5%.

On note $ C_{n} $ le capital du client au 1er janvier de l'année $ 2000+n $, où $ n $ est un entier naturel.

  1. Calculer $ C_{1} $ et $ C_{2} $. Arrondir les résultats au centime d'euro.

  2. Exprimer $ C_{n+1} $ en fonction de $ C_{n} $. En déduire que, pour tout nombre entier naturel $ n $, on a la relation :

    $ C_{n}=3000 \times 1,025^{n}. $

  3. On donne l'algorithme suivant :

    Entrée Saisir un nombre $ S $ supérieur à 3000
    Traitement Affecter à $ n $ la valeur $ 0 $.
      Affecter à $ U $ la valeur 3000
      Tant que $ U\leqslant S $
      $ \qquad $ $ n $ prend la valeur $ n+1 $
      $ \qquad $ $ U $ prend la valeur $ U \times 1,025 $
      Fin tant que
    Sortie Afficher le nombre $ 2000+n $

    1. Pour la valeur $ S=3300 $ saisie, recopier et compléter autant que nécessaire le tableau suivant. Les résultats seront arrondis à l'unité.

      Valeur de $ n $ $ 0 $ $ 1 $ . . . . . .
      Valeur de $ U $ 3000 . . . . . . . . .
      Condition $ U\leqslant S $ vrai . . . . . . . . .
    2. En déduire l'affichage obtenu quand la valeur de $ S $ saisie est 3300.
    3. Dans le contexte de cet exercice, expliquer comment interpréter le nombre obtenu en sortie de cet algorithme quand on saisit un nombre $ S $ supérieur à 3000.

  4. Au 1er janvier 2013, le client avait besoin d'une somme de 5000 euros. Montrer que le capital de son placement n'est pas suffisant à cette date.

    Déterminer, en détaillant la méthode, à partir du 1er janvier de quelle année le client pourrait avoir son capital initial multiplié par 10.

Corrigé

  1. $ C_{1}=\left(1+\dfrac{t}{100}\right)\times C_{0}=1,025\times 3000=3075 $

    $ C_{2}=1,025\times C_{1}=1,025\times 3075=3151,88 $ à $ 0,01 $ près.

  2. Pour tout entier naturel $ n $ :

    $ C_{n+1}=1,025\times C_{n} $

    La suite $ \left(C_{n}\right) $ est une suite géométrique de premier terme $ C_{0}=3000 $ et de raison $ q=1,025 $.

    $ C_{n}=C_{0}\times q^{n}=3000\times 1,025^{n} $

    1. 1. Valeur de $ n $ 0 1 2 3 4
      Valeur de $ U $ 3000 3075 3151,88 3230,67 3311,44
      Condition $ U\leqslant S $ vrai vrai vrai vrai faux
    2. La boucle s'arrête pour $ n=4 $ et le programme se termine après avoir affiché la valeur 2004.
    3. L'algorithme affiche l'année à partir de laquelle le capital sera strictement supérieur à $ S $.

  4. Le capital au 1er janvier 2013, correspond à $ C_{13} $.

    $ C_{13}=3000\times 1,025^{13}\approx 4135,53 $.

    Ce capital est donc inférieur à 5000 euros.

    Le capital initial est multiplié par 10 dès que $ 1,025^{n}\geqslant 10 $.

    La fonction logarithme népérien étant strictement croissante sur $ \left]0;+\infty \right[ $, cette équation équivaut à

    $ \ln\left(1,025^{n}\right)\geqslant \ln\left(10\right) $

    $ n\times \ln\left(1,025\right)\geqslant \ln\left(10\right) $

    $ n\geqslant \dfrac{\ln\left(10\right)}{\ln\left(1,025\right)} $ car $ \ln\left(1,025\right) > 0 $

    Comme $ \dfrac{\ln\left(10\right)}{\ln\left(1,025\right)}\approx 93,25 $ le capital sera multiplié par 10 à compter du 1er janvier 2094.