Exercice 3 (5 points)
Commun à tous les candidats
Le 1er janvier 2000, un client a placé 3000 euros à intérêts composés au taux annuel de 2,5%.
On note $C_{n}$ le capital du client au 1er janvier de l’année $2000+n$, où $n$ est un entier naturel.
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Calculer $C_{1}$ et $C_{2}$. Arrondir les résultats au centime d’euro.
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Exprimer $C_{n+1}$ en fonction de $C_{n}$. En déduire que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a la relation :
$C_{n}=3000 \times 1,025^{n}.$
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On donne l’algorithme suivant :
Entrée Saisir un nombre $S$ supérieur à 3000 Traitement Affecter à $n$ la valeur $0$. Affecter à $U$ la valeur 3000 Tant que $U\leqslant S$ $\qquad$ $n$ prend la valeur $n+1$ $\qquad$ $U$ prend la valeur $U \times 1,025$ Fin tant que Sortie Afficher le nombre $2000+n$ -
Pour la valeur $S=3300$ saisie, recopier et compléter autant que nécessaire le tableau suivant. Les résultats seront arrondis à l’unité.
Valeur de $n$ $0$ $1$ . . . . . . Valeur de $U$ 3000 . . . . . . . . . Condition $U\leqslant S$ vrai . . . . . . . . . -
En déduire l’affichage obtenu quand la valeur de $S$ saisie est 3300.
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Dans le contexte de cet exercice, expliquer comment interpréter le nombre obtenu en sortie de cet algorithme quand on saisit un nombre $S$ supérieur à 3000.
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Au 1er janvier 2013, le client avait besoin d’une somme de 5000 euros. Montrer que le capital de son placement n’est pas suffisant à cette date.
Déterminer, en détaillant la méthode, à partir du 1er janvier de quelle année le client pourrait avoir son capital initial multiplié par 10.
Corrigé
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$C_{1}=\left(1+\dfrac{t}{100}\right)\times C_{0}=1,025\times 3000=3075$
$C_{2}=1,025\times C_{1}=1,025\times 3075=3151,88$ à $0,01$ près.
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Pour tout entier naturel $n$ :
$C_{n+1}=1,025\times C_{n}$
La suite $\left(C_{n}\right)$ est une suite géométrique de premier terme $C_{0}=3000$ et de raison $q=1,025$.
$C_{n}=C_{0}\times q^{n}=3000\times 1,025^{n}$
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Valeur de $n$ 0 1 2 3 4 Valeur de $U$ 3000 3075 3151,88 3230,67 3311,44 Condition $U\leqslant S$ vrai vrai vrai vrai faux -
La boucle s’arrête pour $n=4$ et le programme se termine après avoir affiché la valeur 2004.
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L’algorithme affiche l’année à partir de laquelle le capital sera strictement supérieur à $S$.
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Le capital au 1er janvier 2013, correspond à $C_{13}$.
$C_{13}=3000\times 1,025^{13}\approx 4135,53$.
Ce capital est donc inférieur à 5000 euros.
Le capital initial est multiplié par 10 dès que $1,025^{n}\geqslant 10$.
La fonction logarithme népérien étant strictement croissante sur $\left]0;+\infty \right[$, cette équation équivaut à
$\ln\left(1,025^{n}\right)\geqslant \ln\left(10\right)$
$n\times \ln\left(1,025\right)\geqslant \ln\left(10\right)$
$n\geqslant \dfrac{\ln\left(10\right)}{\ln\left(1,025\right)}$ car $\ln\left(1,025\right) > 0$
Comme $\dfrac{\ln\left(10\right)}{\ln\left(1,025\right)}\approx 93,25$ le capital sera multiplié par 10 à compter du 1er janvier 2094.