Suites – Bac ES/L Polynésie 2014

Exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

La suite $\left(u_{n}\right)$ est définie pour tout nombre entier naturel $n$ par :

Partie A

1. On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel $n$ non \nul donné, tous \les termes de la suite, du rang 0 au rang $n$.

   Parmi \les trois algorithmes suivants, un seul convient.

   Indiquer \lequel et justifier pourquoi \les deux autres \ne peuvent donner \le résultat attendu.

   Variables	$U$ est un nombre réel
   	$i$ et $N$ sont des nombres entiers
   Début	Saisir une valeur pour $N$
   	$U$ prend la valeur 5
   	Pour $i$ de $0$ à $N$ faire
   	$\quad \quad \quad$Affecter à $U$ la valeur $\dfrac{1}{2}\times U+1$
   	Fin Pour
   	Afficher $U$
   Fin

   Algorithme 1

   Variables	$U$ est un nombre réel
   	$i$ et $N$ sont des nombres entiers
   Début	Saisir une valeur pour $N$
   	Pour $i$ de $0$ à $N$ faire
   	$\quad \quad \quad U$ prend la valeur 5
   	$\quad \quad \quad$Afficher $U$
   	$\quad \quad \quad$Affecter à $U$ la valeur $\dfrac{1}{2}\times U+1$
   	Fin Pour
   Fin

   Algorithme 2

   Variables	$U$ est un nombre réel
   	$i$ et $N$ sont des nombres entiers
   Début	Saisir une valeur pour $N$
   	$U$ prend la valeur 5
   	Pour $i$ de $0$ à $N$ faire
   	$\quad \quad \quad$Afficher $U$
   	$\quad \quad \quad$Affecter à $U$ la valeur $\dfrac{1}{2}\times U+1$
   	Fin Pour
   Fin

   Algorithme 3

2. On saisit la valeur 9 pour $N$, l’affichage est \le suivant :

   5

   3,5

   2,75

   2,375

   2,185

   2,0938

   2,0469

   2,0234

   2,0117

   2,0059

   Quelle conjecture peut-on émettre sur \le sens de variation de cette suite ?

Partie B

On \introduit une suite auxiliaire $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_{n}=u_{n} – 2$.

1. Montrer que $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique. Préciser sa raison $q$ et son premier terme $v_{0}$.

2. Montrer que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a $u_{n}=2+3 \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}$.

3. Étudier \les variations de la suite $\left(u_{n}\right)$.

4. Déterminer la \limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.

5. À partir de quel rang a-t-on : $u_{n} – 2 \leqslant 10^{ – 6}$