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Suites – Bac ES/L Polynésie 2014

Exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

La suite $ \left(u_{n}\right) $ est définie pour tout nombre entier naturel $ n $ par :

$ \left\{ \begin{matrix} u_{0} = 5 \\ u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_{n}+1\end{matrix}\right. $

Partie A

  1. On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel $ n $ non nul donné, tous les termes de la suite, du rang 0 au rang $ n $.

    Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient.

    Indiquer lequel et justifier pourquoi les deux autres ne peuvent donner le résultat attendu.

    Variables $ U $ est un nombre réel
      $ i $ et $ N $ sont des nombres entiers
    Début Saisir une valeur pour $ N $
      $ U $ prend la valeur 5
      Pour $ i $ de $ 0 $ à $ N $ faire
      $ \quad \quad \quad $Affecter à $ U $ la valeur $ \dfrac{1}{2}\times U+1 $
      Fin Pour
      Afficher $ U $
    Fin  
    Algorithme 1
    Variables $ U $ est un nombre réel
      $ i $ et $ N $ sont des nombres entiers
    Début Saisir une valeur pour $ N $
      Pour $ i $ de $ 0 $ à $ N $ faire
      $ \quad \quad \quad U $ prend la valeur 5
      $ \quad \quad \quad $Afficher $ U $
      $ \quad \quad \quad $Affecter à $ U $ la valeur $ \dfrac{1}{2}\times U+1 $
      Fin Pour
    Fin  
    Algorithme 2
    Variables $ U $ est un nombre réel
      $ i $ et $ N $ sont des nombres entiers
    Début Saisir une valeur pour $ N $
      $ U $ prend la valeur 5
      Pour $ i $ de $ 0 $ à $ N $ faire
      $ \quad \quad \quad $Afficher $ U $
      $ \quad \quad \quad $Affecter à $ U $ la valeur $ \dfrac{1}{2}\times U+1 $
      Fin Pour
    Fin  
    Algorithme 3

  2. On saisit la valeur 9 pour $ N $, l'affichage est le suivant :

    5 3,5 2,75 2,375 2,185 2,0938 2,0469 2,0234 2,0117 2,0059

    Quelle conjecture peut-on émettre sur le sens de variation de cette suite ?

Partie B

On introduit une suite auxiliaire $ \left(v_{n}\right) $ définie, pour tout entier naturel $ n $, par $ v_{n}=u_{n} - 2 $.

  1. Montrer que $ \left(v_{n}\right) $ est une suite géométrique. Préciser sa raison $ q $ et son premier terme $ v_{0} $.
  2. Montrer que, pour tout nombre entier naturel $ n $, on a $ u_{n}=2+3 \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n} $.
  3. Étudier les variations de la suite $ \left(u_{n}\right) $.
  4. Déterminer la limite de la suite $ \left(u_{n}\right) $.
  5. À partir de quel rang a-t-on : $ u_{n} - 2 \leqslant 10^{ - 6} $

Corrigé

Partie A

  1. L'algorithme qui convient est l'algorithme 3.

    • Algorithme 1 : L'affichage est situé après la boucle "Pour". Il n'affichera donc que la dernière valeur de $ U $ ($ u_{N+1} $) et non tous les termes.
    • Algorithme 2 : La variable $ U $ est réinitialisée à 5 à chaque itération de la boucle. Il affichera donc $ N+1 $ fois la valeur 5.
    • Algorithme 3 : Il initialise $ U $ à 5, puis dans la boucle, il affiche la valeur courante avant de calculer la suivante (qui sera affichée au tour suivant). Cela permet bien d'afficher tous les termes de $ u_0 $ à $ u_N $.
  2. Au vu des premières valeurs de la suite ($ 5 > 3,5 > 2,75 \dots $), on peut conjecturer que la suite $ (u_n) $ est décroissante.

Partie B

  1. Pour tout entier naturel $ n $ :

    $ v_{n+1} = u_{n+1} - 2 $

    En remplaçant $ u_{n+1} $ par son expression :

    $ v_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 1 - 2 = \dfrac{1}{2}u_n - 1 $

    En factorisant par $ \dfrac{1}{2} $ :

    $ v_{n+1} = \dfrac{1}{2}(u_n - 2) = \dfrac{1}{2}v_n $

    La suite $ (v_n) $ est donc une suite géométrique de raison $ q = \dfrac{1}{2} $ et de premier terme $ v_0 = u_0 - 2 = 5 - 2 = 3 $.

  2. Comme $ (v_n) $ est géométrique, on a pour tout entier naturel $ n $ :

    $ v_n = v_0 \times q^n = 3 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n $

    Comme $ v_n = u_n - 2 $, on en déduit :

    $ u_n = v_n + 2 = 2 + 3\left(\dfrac{1}{2}\right)^n $

  3. Pour étudier les variations de $ (u_n) $, calculons la différence $ u_{n+1} - u_n $ :

    $ u_{n+1} - u_n = \left(2 + 3\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}\right) - \left(2 + 3\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\right) $
    $ u_{n+1} - u_n = 3\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} - 3\left(\dfrac{1}{2}\right)^n = 3\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \left(\dfrac{1}{2} - 1\right) = 3\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \left(-\dfrac{1}{2}\right) $

    Comme $ 3 > 0 $, $ \left(\dfrac{1}{2}\right)^n > 0 $ et $ -\dfrac{1}{2} < 0 $, on a $ u_{n+1} - u_n < 0 $ pour tout $ n $.
    La suite $ (u_n) $ est donc décroissante.

  4. Comme $ -1 < \dfrac{1}{2} < 1 $, alors $ \lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n = 0 $.
    On en déduit par limite de somme :

    $ \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 2 + 3 \times 0 = 2 $

  5. On cherche $ n $ tel que $ u_n - 2 \le 10^{-6} $.
    Cela revient à résoudre $ v_n \le 10^{-6} $ :

    $ 3 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \le 10^{-6} $
    $ \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \le \dfrac{10^{-6}}{3} $

    En utilisant le logarithme népérien :

    $ n \ln\left(\dfrac{1}{2}\right) \le \ln\left(\dfrac{10^{-6}}{3}\right) $

    Comme $ \ln\left(\dfrac{1}{2}\right) < 0 $, on change le sens de l'inégalité en divisant :

    $ n \ge \dfrac{\ln\left(\dfrac{10^{-6}}{3}\right)}{\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)} \approx \dfrac{-14,91}{-0,693} \approx 21,52 $

    Le plus petit entier $ n $ convenant est donc $ n = 22 $.