Suites – Bac ES/L Polynésie 2013
Exercice 3 (5 points)
Commun à tous les candidats
La production des perles de culture de Tahiti est une activité économique importante pour la Polynésie Française.
Les montants réalisés à l'exportation des produits perliers de 2008 à 2011 sont donnés dans le tableau suivant, en milliers d'euros :
| Années | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 |
|---|---|---|---|---|
| Valeurs brutes des produits perliers (en milliers d'euros) | 81295 | 66052 | 64690 | 63182 |
Source : ISPF ((Institut de Statistiques de Polynésie Française)
- Montrer que le taux d'évolution annuel moyen des montants à l'exportation des produits perliers de Polynésie entre 2008 et 2011 est $ - 8,06\% $ arrondi au centième. On admet pour la suite de l'exercice, que la production continuera à baisser de 8% par an à partir de 2011.
On considère l'algorithme suivant :
Entrée : Saisir un nombre positif P Traitement : Affecter la valeur 0 à la variable N (initialisation) Affecter la valeur 63182 à U (initialisation) Tant que U > P $ \quad $Affecter la valeur N+1 à N $ \quad $Affecter la valeur 0,92$ \times $U à U Fin de Tant que Affecter la valeur N+2011 à N Sortie : Afficher N Si on saisit $ P=50 000 $ en entrée, qu'obtient-on en sortie par cet algorithme ? Interpréter ce résultat dans le contexte de la production de perles
Pour prévoir les montants réalisés à l'exportation des perles de Tahiti, on modélise la situation par une suite $ \left(u_{n}\right) $. On note $ u_{0} $ le montant en 2011, en milliers d'euros, et $ u_{n} $ le montant en $ 2011+n $, en milliers d'euros. On a donc $ u_{0}=63 182 $ et on suppose que la valeur baisse tous les ans de 8%.
- Montrer que $ \left(u_{n}\right) $ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
- Exprimer, pour tout entier naturel $ n $, $ u_{n} $ en fonction de $ n $.
- Avec ce modèle, quel montant peut-on prévoir pour l'exportation des produits perliers de Polynésie Française en 2016 ? On arrondira le résultat au millier d'euros
- Calculer le montant cumulé des produits perliers exportés que l'on peut prévoir avec ce modèle à partir de 2011 (comprise) jusqu'à 2020 (comprise). On donnera une valeur approchée au millier d'euros.
Corrigé
Le taux d'évolution global entre 2008 et 2011 est :
$ T = \dfrac{V_{2011} - V_{2008}}{V_{2008}} = \dfrac{63182 - 81295}{81295} \approx -0,2228 $Soit un coefficient multiplicateur global de $ CM = 1 + T = 0,7772 $.
Il s'est écoulé $ n = 3 $ années entre 2008 et 2011.
Le taux d'évolution annuel moyen $ t_m $ vérifie :$ (1 + t_m)^3 = 0,7772 $D'où :
$ 1 + t_m = 0,7772^{1/3} \approx 0,9194 $On en déduit le taux moyen :
$ t_m \approx 0,9194 - 1 \approx -0,0806 $Le taux d'évolution annuel moyen est donc bien d'environ $ -8,06\% $.
Traçons l'exécution de l'algorithme pour $ P = 50 000 $ :
- Initialisation : $ N = 0 $ et $ U = 63182 $.
- 1ère itération : $ U = 63182 > 50000 $. On a $ N = 1 $ et $ U = 0,92 \times 63182 \approx 58127,4 $.
- 2ème itération : $ U = 58127,4 > 50000 $. On a $ N = 2 $ et $ U = 0,92 \times 58127,4 \approx 53477,2 $.
- 3ème itération : $ U = 53477,2 > 50000 $. On a $ N = 3 $ et $ U = 0,92 \times 53477,2 \approx 49199,1 $.
- Fin de la boucle car $ U \le 50000 $.
- Sortie : $ N = 3 + 2011 = 2014 $.
L'algorithme affiche $ 2014 $.
Cela signifie que c'est en 2014 que le montant des exportations passera pour la première fois en dessous de 50 000 milliers d'euros.
- Chaque année, la valeur baisse de 8%, ce qui revient à multiplier par $ 1 - 0,08 = 0,92 $.
On a donc pour tout entier $ n $, $ u_{n+1} = 0,92 u_n $.
$ (u_n) $ est donc une suite géométrique de raison $ q = 0,92 $ et de premier terme $ u_0 = 63182 $. D'après la formule du cours pour les suites géométriques :
$ u_n = u_0 \times q^n = 63182 \times 0,92^n $En 2016, on a $ n = 2016 - 2011 = 5 $.
$ u_5 = 63182 \times 0,92^5 \approx 41642,1 $Le montant prévu pour 2016 est de $ 41 642 $ milliers d'euros.
- Chaque année, la valeur baisse de 8%, ce qui revient à multiplier par $ 1 - 0,08 = 0,92 $.
Le montant cumulé entre 2011 (inclus) et 2020 (inclus) correspond à la somme des termes de $ u_0 $ à $ u_9 $ (car $ 2020 = 2011 + 9 $).
$ S = u_0 + u_1 + \dots + u_9 = u_0 \times \dfrac{1 - q^{10}}{1 - q} $$ S = 63182 \times \dfrac{1 - 0,92^{10}}{1 - 0,92} \approx 63182 \times \dfrac{1 - 0,434388}{0,08} \approx 446703 $Le montant cumulé est d'environ $ 446 703 $ milliers d'euros.