Exercice 2 (5 points)
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L
À l’automne 2010, Claude achète une maison à la campagne ; il dispose d’un terrain de 1 500 m$^{2}$ entièrement engazonné. Mais tous les ans, 20% de la surface engazonnée est détruite et remplacée par de la mousse. Claude arrache alors, à chaque automne, la mousse sur une surface de 50m$^{2}$ et la remplace par du gazon.
Pour tout nombre entier naturel $n$, on note $u_{n}$ la surface en m$^{2}$ de terrain engazonné au bout de $n$ années, c’est-à-dire à l’automne $2010+n$. On a donc $u_{0}=1 500$.
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Calculer $u_{1}$.
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Justifier que, pour tout nombre entier naturel $n, u_{n+1}= 0,8 u_{n} + 50$.
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On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout nombre entier naturel $n$ par: $v_{n}=u_{n} – 250$.
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Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique. Préciser son premier terme et sa raison.
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Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
En déduire que, pour tout nombre entier naturel $n, u_{n}=250 + 1 250\times 0,8^{n}$.
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Quelle est la surface de terrain engazonné au bout de 4 années
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Déterminer par le calcul la plus petite valeur de l’entier naturel $n$ telle que :
$250+1250\times 0,8^{n} < 500$
Interpréter le résultat obtenu.
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Compléter l’algorithme fourni ci-dessous pour qu’il affiche la solution obtenue à la question précédente
Initialisation : $u$ prend la valeur 1 500 $n$ prend la valeur 0 Traitement : Tant que . . . . . . . faire $\quad \quad \quad \quad u$ prend la valeur . . . . . . $\quad \quad \quad \quad n$ prend la valeur . . . . . . Fin Tant que Sortie : Afficher $n$
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Claude est certain que les mauvaises herbes ne peuvent envahir la totalité de son terrain.
A-t-il raison ? Justifier la réponse.
Corrigé
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$u_{1}=\left(1 – \dfrac{20}{100}\right)u_{0}+50=0,8\times 1500+50=1250$
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«20% de la surface engazonnée est détruite» $\rightarrow$ on multiplie par le coefficient multiplicateur $CM = \left(1 – \dfrac{20}{100}\right)=0.8$.
«Claude arrache alors, à chaque automne, la mousse sur une surface de 50m$^{2}$ et la remplace par du gazon»$\rightarrow$ on ajoute 50
Donc $u_{n+1}=0,8u_{n}+50$
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$v_{n+1} = u_{n+1} – 250$ (d’après la définition de la suite $v$)
$v_{n+1} = 0,8 u_{n} + 50 – 250$ (d’après la définition de la suite $u$)
$v_{n+1} = 0,8 u_{n} – 200$
$v_{n+1} = 0,8 \left(v_{n} + 250\right) – 200$(car $v_{n}=u_{n} – 250 \Rightarrow u_{n}=v_{n}+250$)
$v_{n+1} = 0,8 v_{n}$
La suite $\left(v_{n}\right)$ est donc une suite géométrique de raison $q=0,8$. Son premier terme est :
$v_{0}=u_{0} – 250=1250$
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On utilise la formule $v_{n}=v_{0}\times q^{n}$ qui donne ici :
$v_{n}=1250\times 0,8^{n}$
On en déduit que :
$u_{n}=v_{n}+250=1250\times 0,8^{n}+250$
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La surface de terrain engazonné au bout de 4 années est :
$u_{4}=1250\times 0,8^{4}+250=762 \text{m}^{2}$
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$250+1250\times 0,8^{n} < 500 \Leftrightarrow 1250\times 0,8^{n} < 500 - 250$
$250+1250\times 0,8^{n} < 500 \Leftrightarrow 0,8^{n} < \dfrac{250}{1250}$
$250+1250\times 0,8^{n} < 500 \Leftrightarrow 0,8^{n} < \dfrac{1}{5}$
$250+1250\times 0,8^{n} < 500 \Leftrightarrow \ln\left(0,8^{n}\right) < \ln\left(\dfrac{1}{5}\right)$ (car la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $\left]0;+\infty \right[$)
$250+1250\times 0,8^{n} < 500 \Leftrightarrow n \ln\left(0,8\right) < - \ln\left(5\right)$
$250+1250\times 0,8^{n} < 500 \Leftrightarrow n > – \dfrac{\ln\left(5\right)}{\ln\left(0,8\right)}$
Il faut penser à changer le sens de l’inégalité car $\ln\left(0,8\right)$ est négatif !
Comme $- \dfrac{\ln\left(5\right)}{\ln\left(0,8\right)} \approx 7,2$, la plus petite valeur de $n$ telle que $u_{n} < 500$ est $8$ .
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Initialisation : $u$ prend la valeur 1 500 $n$ prend la valeur 0 Traitement : Tant que $\color{red}{u \geqslant 500}$ faire $\quad \quad \quad \quad u$ prend la valeur $\color{red}{0,8u+50}$ $\quad \quad \quad \quad n$ prend la valeur $\color{red}{n+1}$ Fin Tant que Sortie : Afficher $n$ -
L’égalité $u_{n}=1250\times 0,8^{n}+250$ montre que pour tout entier $n$, $u_{n} > 250$ (car $1250\times 0,8^{n} > 0$)
La surface de terrain engazonné sera donc toujours supérieure à 250 m$^{2}$ et Claude a donc raison.
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