Exercice 2 (5 points)
Commun à tous les candidats
Partie A
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0}=10$ et pour tout entier naturel $n,$
$u_{n+1}=0,9u_{n}+1,2$
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On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n}=u_{n} – 12$.
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Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
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Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
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En déduire que pour tout entier naturel $n : u_{n}=12 – 2\times 0,9^{n}$.
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Déterminer la limite de la suite $\left(v_{n}\right)$ et en déduire celle de la suite $\left(u_{n}\right)$.
Partie B
En 2012, la ville de Bellecité compte 10 milliers d’habitants. Les études démographiques sur les dernières années ont montré que chaque année :
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10% des habitants de la ville meurent ou déménagent dans une autre ville ;
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1 200 personnes naissent ou emménagent dans cette ville.
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Montrer que cette situation peut être modélisée par la suite $\left(u_{n}\right)$ où $u_{n}$ désigne le nombre de milliers d’habitants de la ville de Bellecité l’année $2012+n$.
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Un institut statistique décide d’utiliser un algorithme pour prévoir la population de la ville de Bellecité dans les années à venir.
Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous pour qu’il calcule la population de la ville de Bellecité l’année $2012+n$.
VARIABLES
$a, i, n$
INITIALISATION
Choisir $n$
$a$ prend la valeur
TRAITEMENT
Pour $i$ allant de $1$ à $n$
$a$ prend la valeur ....
SORTIE
Afficher $a$ -
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Résoudre l’inéquation $12 – 2\times 0,9^{n} > 11,5$.
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En donner une interprétation.
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