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Suites et algorithmes – Bac ES/L Centres étrangers 2014

Exercice 3   (5 points)

Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série L

Dans une ville, un nouveau lycée vient d'ouvrir ses portes et accueille pour sa première rentrée 500 élèves. D'une année sur l'autre, le proviseur du lycée prévoit une perte de 30% de l'effectif et l'arrivée de $ 300 $ nouveaux élèves.

On modélise cette situation par une suite numérique $ \left(u_{n}\right) $ où $ u_{n} $ représente le nombre d'élèves inscrits au lycée pour l'année $ 2013+n $, avec $ n $ entier naturel. On a donc $ u_{0}=500 $.

    1. Calculer le nombre d'élèves qui seront inscrits au lycée en 2014.
    2. Calculer le nombre d'élèves qui seront inscrits au lycée en 2015
  2. Justifier que, pour tout entier naturel $ n $, on a : $ u_{n+1}=0,7u_{n}+300 $.

  3. On souhaite, pour un entier $ n $ donné, afficher tous les termes de la suite $ \left(u_{n}\right) $ du rang $ 0 $ au rang $ n $.

    Lequel des trois algorithmes suivants permet d'obtenir le résultat souhaité ? Justifier.

    Variables $ n, i $ entiers naturels,
      $ u $ nombre réel
    Début algorithme Lire $ n $
      $ u $ prend la valeur $ 500 $
      Pour $ i $ allant de 1 à $ n $
      $ \quad \quad \quad $ Afficher $ u $
      $ \quad \quad \quad u $ prend la valeur $ 0,7\times u+300 $
      Fin Pour
    Algorithme 1
    Variables $ n, i $ entiers naturels,
      $ u $ nombre réel
    Début algorithme Lire $ n $
      $ u $ prend la valeur $ 500 $
      Pour $ i $ allant de 1 à $ n $
      $ \quad \quad \quad $ Afficher $ u $
      $ \quad \quad \quad u $ prend la valeur $ 0,7\times u+300 $
      Fin Pour
      Afficher $ u $
    Algorithme 2
    Variables $ n, i $ entiers naturels,
      $ u $ nombre réel
    Début algorithme Lire $ n $
      $ u $ prend la valeur $ 500 $
      Pour $ i $ allant de 1 à $ n $
      $ \quad \quad \quad u $ prend la valeur $ 0,7\times u+300 $
      $ \quad \quad \quad $ Afficher $ u $
      Fin Pour
    Algorithme 3

  4. On considère la suite $ \left(v_{n}\right) $ définie pour tout entier naturel $ n $ par : $ v_{n}=u_{n} - 1000 $.

    1. Démontrer que la suite $ \left(v_{n}\right) $ est une suite géométrique de raison $ q=0,7 $.
    2. En déduire que, pour tout entier naturel $ n,: u_{n}=1000 - 500 \times 0,7^{n} $.
    3. Déterminer la limite de la suite $ \left(u_{n}\right) $.
    4. Interpréter le résultat précédent

Corrigé

    1. L'année 2014 correspond au rang $ n=1 $.

      $ u_1 = 0,7 \times u_0 + 300 = 0,7 \times 500 + 300 = 350 + 300 = 650 $

      En 2014, le lycée accueillera 650 élèves.

    2. L'année 2015 correspond au rang $ n=2 $.

      $ u_2 = 0,7 \times u_1 + 300 = 0,7 \times 650 + 300 = 455 + 300 = 755 $

      En 2015, le lycée accueillera 755 élèves.

  2. D'après l'énoncé, chaque année le lycée perd 30 % de son effectif (il en reste donc $ 70\ \% $, soit un coefficient de $ 0,7 $) et accueille $ 300 $ nouveaux élèves.
    Le nombre d'élèves $ u_{n+1} $ l'année suivant l'année $ n $ est donc :

    $ u_{n+1} = 0,7u_n + 300 $

  3. On souhaite afficher tous les termes de $ u_0 $ à $ u_n $.

    • L'Algorithme 1 n'affiche que les termes de $ u_0 $ à $ u_{n-1} $. En effet, l'affichage a lieu avant la mise à jour de $ u $, et la boucle s'arrête à $ i=n $. Le dernier terme affiché est donc $ u_{n-1} $ juste avant que $ u $ ne prenne la valeur $ u_n $.
    • L'Algorithme 2 convient. Il affiche les termes de $ u_0 $ à $ u_{n-1} $ à l'intérieur de la boucle, puis affiche la dernière valeur calculée ($ u_n $) après la sortie de la boucle.
    • L'Algorithme 3 n'affiche que les termes de $ u_1 $ à $ u_n $ car il calcule la nouvelle valeur avant de l'afficher.

    C'est donc l'Algorithme 2 qui permet d'obtenir le résultat souhaité.

    1. Exprimons $ v_{n+1} $ en fonction de $ v_n $ :

      $ v_{n+1} = u_{n+1} - 1\ 000 $
      $ v_{n+1} = 0,7u_n + 300 - 1\ 000 = 0,7u_n - 700 $
      $ v_{n+1} = 0,7(u_n - 1\ 000) $
      $ v_{n+1} = 0,7v_n $

      La suite $ \left(v_n\right) $ est donc géométrique de raison $ q=0,7 $.
      Son premier terme est $ v_0 = u_0 - 1\ 000 = 500 - 1\ 000 = -500 $.

    2. Puisque $ \left(v_n\right) $ est géométrique, on a pour tout $ n $ : $ v_n = v_0 \times q^n = -500 \times 0,7^n $.
      Comme $ v_n = u_n - 1\ 000 $, on en déduit $ u_n = v_n + 1\ 000 $, soit :

      $ u_n = 1\ 000 - 500 \times 0,7^n $

    3. Comme $ -1 < 0,7 < 1 $, on a $ \lim\limits_{n \to +\infty} 0,7^n = 0 $.
      Par conséquent :

      $ \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 1\ 000 - 500 \times 0 = 1\ 000 $
    4. À long terme, l'effectif du lycée se stabilisera autour de $ 1\ 000 $ élèves.

    1. Résolvons l'inéquation :

      $ 1\ 000 - 500 \times 0,7^n \geqslant 990 $
      $ 10 \geqslant 500 \times 0,7^n $
      $ 0,02 \geqslant 0,7^n $
      $ \ln(0,02) \geqslant n \ln(0,7) $

      Puisque $ \ln(0,7) < 0 $, on a :

      $ n \geqslant \dfrac{\ln(0,02)}{\ln(0,7)} $

      À l'aide de la calculatrice, on trouve $ \dfrac{\ln(0,02)}{\ln(0,7)} \approx 10,97 $.
      Comme $ n $ est un entier naturel, $ n \geqslant 11 $.

    2. Cela signifie qu'à partir de l'année $ 2013 + 11 = 2024 $, l'effectif du lycée sera supérieur ou égal à 990 élèves.