Suites et algorithmes – Bac ES/L Centres étrangers 2014

Exercice 3   (5 points)

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

Dans une ville, un nouveau lycée vient d’ouvrir ses portes et accueille pour sa première rentrée 500 élèves. D’une année sur l’autre, le proviseur du lycée prévoit une perte de 30% de l’effectif et l’arrivée de $300$ nouveaux élèves.

On modélise cette situation par une suite numérique $\left(u_{n}\right)$ où $u_{n}$ représente le nombre d’élèves inscrits au lycée pour l’année $2013+n$, avec $n$ entier naturel. On a donc $u_{0}=500$.

1. 1. Calculer le nombre d’élèves qui seront inscrits au lycée en 2014.

   2. Calculer le nombre d’élèves qui seront inscrits au lycée en 2015

2. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1}=0,7u_{n}+300$.

3. On souhaite, pour un entier $n$ donné, afficher tous les termes de la suite $\left(u_{n}\right)$ du rang $0$ au rang $n$.

   Lequel des trois algorithmes suivants permet d’obtenir le résultat souhaité ? Justifier.

   Variables	$n, i$ entiers naturels,
   	$u$ nombre réel
   Début algorithme	Lire $n$
   	$u$ prend la valeur $500$
   	Pour $i$ allant de 1 à $n$
   	$\quad \quad \quad$Afficher $u$
   	$\quad \quad \quad u$ prend la valeur $0,7\times u+300$
   	Fin Pour

   Algorithme 1

   Variables	$n, i$ entiers naturels,
   	$u$ nombre réel
   Début algorithme	Lire $n$
   	$u$ prend la valeur $500$
   	Pour $i$ allant de 1 à $n$
   	$\quad \quad \quad$Afficher $u$
   	$\quad \quad \quad u$ prend la valeur $0,7\times u+300$
   	Fin Pour
   	Afficher $u$

   Algorithme 2

   Variables	$n, i$ entiers naturels,
   	$u$ nombre réel
   Début algorithme	Lire $n$
   	$u$ prend la valeur $500$
   	Pour $i$ allant de 1 à $n$
   	$\quad \quad \quad u$ prend la valeur $0,7\times u+300$
   	$\quad \quad \quad$Afficher $u$
   	Fin Pour

   Algorithme 3

4. On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $v_{n}=u_{n} – 1000$.

   1. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $q=0,7$.

   2. En déduire que, pour tout entier naturel $n,: u_{n}=1000 – 500 \times 0,7^{n}$.

   3. Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.

   4. Interpréter le résultat précédent

5. 1. Résoudre dans l’ensemble des entiers naturels l’inéquation $u_{n} \geqslant 990$.

   2. Interpréter le résultat trouvé précédemment.