Suites – Bac ES/L Amérique du Nord 2014

Exercice 4   (5 points)

Candidats ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats L

Afin d’entretenir une forêt vieillissante, un organisme régional d’entretien des forêts décide d’abattre chaque année 5% des arbres existants et de replanter 3 000 arbres.

Le nombre d’arbres de cette forêt est modélisé par une suite notée $u$ où $u_{n}$ désigne le nombre d’arbres au cours de l’année (2013+n) .

En 2013, la forêt compte 50 000 arbres.

1. 1. Déterminer le nombre d’arbres de la forêt en 2014.

   2. Montrer que la suite $u$ est définie par $u_{0}=50 000$ et pour tout entier naturel $n$ par la relation :

      $u_{n+1}=0,95u_{n}+ 3 000.$

2. On considère la suite $v$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n} =60 000 – u_{n}$.

   1. Montrer que la suite $v$ est une suite géométrique de raison $0,95$.

      Déterminer son premier terme.

   2. Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.

   3. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_{n}=10 000\left(6 – 0,95^{n}\right)$.

   4. Déterminer la limite de la suite $u$.

   5. Interpréter le résultat précédent.

3. 1. Résoudre dans l’ensemble des entiers naturels l’inéquation $u_{n} \geqslant 57 000$

   2. Interpréter ce résultat.

4. 1. On souhaite écrire un algorithme affichant pur un entier naturel $n$ donné, tous les termes de la suite du rang 0 au rang $n$. Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel.

      Variables :	$A$, $U$, $N$ sont des nombres
      Début de l’algorithme :	Saisir la valeur de $A$
      	$N$ prend la valeur $0$
      	$U$ prend la valeur $50 000$
      	Tant que $U < A$
      	$\quad \quad \quad N$ prend la valeur $N+1$
      	$\quad \quad \quad U$ prend la valeur $0,95 U+3 000$
      	Fin tant que
      	Afficher $N$

      Algorithme 1

      Variables :	$U$, $I$, $N$ sont des nombres
      Début de l’algorithme :	Saisir la valeur de $N$
      	$U$ prend la valeur $50 000$
      	Pour $I$ variant de 1 à $N$
      	$\quad \quad \quad U$ prend la valeur $0,95 U+3 000$
      	Fin Pour
      	Afficher $U$

      Algorithme 2

      Variables :	$U$, $I$, $N$ sont des nombres
      Début de l’algorithme :	Saisir la valeur de $N$
      	$U$ prend la valeur $50 000$
      	Pour $I$ variant de 1 à $N$
      	$\quad \quad \quad$Afficher $U$
      	$\quad \quad \quad U$ prend la valeur $0,95 U+3 000$
      	Fin Pour
      	Afficher $U$

      Algorithme 3

   2. Lorsque $A=57 000$ l’algorithme 1 affiche 24. interpréter ce résultat dans le contexte de l’énoncé.