Suites – Bac ES/L Amérique du Nord 2014
Exercice 4 (5 points)
Candidats ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats L
Afin d'entretenir une forêt vieillissante, un organisme régional d'entretien des forêts décide d'abattre chaque année 5% des arbres existants et de replanter 3 000 arbres.
Le nombre d'arbres de cette forêt est modélisé par une suite notée $ u $ où $ u_{n} $ désigne le nombre d'arbres au cours de l'année (2013+n) .
En 2013, la forêt compte 50 000 arbres.
- Déterminer le nombre d'arbres de la forêt en 2014.
Montrer que la suite $ u $ est définie par $ u_{0}=50 000 $ et pour tout entier naturel $ n $ par la relation :
$ u_{n+1}=0,95u_{n}+ 3 000. $
On considère la suite $ v $ définie pour tout entier naturel $ n $ par $ v_{n} =60 000 - u_{n} $.
Montrer que la suite $ v $ est une suite géométrique de raison $ 0,95 $.
Déterminer son premier terme.
- Exprimer $ v_{n} $ en fonction de $ n $.
- En déduire que pour tout entier naturel $ n $, $ u_{n}=10 000\left(6 - 0,95^{n}\right) $.
- Déterminer la limite de la suite $ u $.
- Interpréter le résultat précédent.
- Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $ u_{n} \geqslant 57 000 $
- Interpréter ce résultat.
On souhaite écrire un algorithme affichant pur un entier naturel $ n $ donné, tous les termes de la suite du rang 0 au rang $ n $. Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel.
Variables : $ A $, $ U $, $ N $ sont des nombres Début de l'algorithme : Saisir la valeur de $ A $ $ N $ prend la valeur $ 0 $ $ U $ prend la valeur $ 50\ 000 $ Tant que $ U < A $ $ \quad \quad \quad N $ prend la valeur $ N+1 $ $ \quad \quad \quad U $ prend la valeur $ 0,95 U+3\ 000 $ Fin tant que Afficher $ N $ Algorithme 1Variables : $ U $, $ I $, $ N $ sont des nombres Début de l'algorithme : Saisir la valeur de $ N $ $ U $ prend la valeur $ 50\ 000 $ Pour $ I $ variant de 1 à $ N $ $ \quad \quad \quad U $ prend la valeur $ 0,95 U+3\ 000 $ Fin Pour Afficher $ U $ Algorithme 2Variables : $ U $, $ I $, $ N $ sont des nombres Début de l'algorithme : Saisir la valeur de $ N $ $ U $ prend la valeur $ 50\ 000 $ Pour $ I $ variant de 1 à $ N $ $ \quad \quad \quad $Afficher $ U $ $ \quad \quad \quad U $ prend la valeur $ 0,95 U+3\ 000 $ Fin Pour Afficher $ U $ Algorithme 3- Lorsque $ A=57\ 000 $ l'algorithme 1 affiche 24. interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
Corrigé
L'année 2014 correspond au rang $ n=1 $. En 2013 ($ n=0 $), la forêt comptait $ 50\ 000 $ arbres ($ u_0 = 50\ 000 $).
L'énoncé indique que chaque année, on abat 5 % des arbres et on en replante $ 3\ 000 $.$ u_1 = 50\ 000 - 0,05 \times 50\ 000 + 3\ 000 $$ u_1 = 0,95 \times 50\ 000 + 3\ 000 $$ u_1 = 47\ 500 + 3\ 000 = 50\ 500 $En 2014, la forêt comptera $ 50\ 500 $ arbres.
On sait que $ u_n $ est le nombre d'arbres lors de l'année $ (2013+n) $. En 2013 ($ n=0 $), il y a $ 50\ 000 $ arbres, donc $ u_0 = 50\ 000 $.
D'une année $ n $ à l'année $ n+1 $, on retranche 5 % des arbres (il en reste donc $ 95\ \% $, soit un coefficient de $ 0,95 $) et on ajoute $ 3\ 000 $ arbres.
On a donc bien, pour tout entier naturel $ n $ :$ u_{n+1} = 0,95u_n + 3\ 000 $
Soit $ v_n = 60\ 000 - u_n $. Exprimons $ v_{n+1} $ en fonction de $ v_n $ :
$ v_{n+1} = 60\ 000 - u_{n+1} $$ v_{n+1} = 60\ 000 - (0,95u_n + 3\ 000) $$ v_{n+1} = 57\ 000 - 0,95u_n $Or, de $ v_n = 60\ 000 - u_n $, on tire $ u_n = 60\ 000 - v_n $. En remplaçant dans l'expression de $ v_{n+1} $ :
$ v_{n+1} = 57\ 000 - 0,95(60\ 000 - v_n) $$ v_{n+1} = 57\ 000 - 57\ 000 + 0,95v_n $$ v_{n+1} = 0,95v_n $La suite $ v $ est donc une suite géométrique de raison $ q = 0,95 $.
Son premier terme est :$ v_0 = 60\ 000 - u_0 = 60\ 000 - 50\ 000 = 10\ 000 $Comme $ v $ est une suite géométrique de premier terme $ v_0 = 10\ 000 $ et de raison $ q = 0,95 $, on a pour tout $ n $ :
$ v_n = v_0 \times q^n = 10\ 000 \times 0,95^n $On sait que $ v_n = 60\ 000 - u_n $, donc $ u_n = 60\ 000 - v_n $.
En remplaçant $ v_n $ par son expression trouvée précédemment :$ u_n = 60\ 000 - 10\ 000 \times 0,95^n $En factorisant par $ 10\ 000 $, on obtient :
$ u_n = 10\ 000 (6 - 0,95^n) $Comme $ -1 < 0,95 < 1 $, on a $ \lim\limits_{n \to +\infty} 0,95^n = 0 $.
On en déduit par limite de somme et de produit :$ \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 10\ 000 \times (6 - 0) = 60\ 000 $- À long terme, le nombre d'arbres de cette forêt va tendre vers $ 60\ 000 $.
Résolvons l'inéquation :
$ 10\ 000(6 - 0,95^n) \geqslant 57\ 000 $$ 6 - 0,95^n \geqslant \dfrac{57\ 000}{10\ 000} $$ 6 - 0,95^n \geqslant 5,7 $$ 6 - 5,7 \geqslant 0,95^n $$ 0,3 \geqslant 0,95^n $Par croissance de la fonction logarithme népérien sur $ ]0\ ; +\infty[ $ :
$ \ln(0,3) \geqslant \ln(0,95^n) $$ \ln(0,3) \geqslant n \ln(0,95) $Comme $ 0,95 < 1 $, alors $ \ln(0,95) < 0 $. En divisant par ce nombre, l'ordre de l'inégalité change :
$ n \geqslant \dfrac{\ln(0,3)}{\ln(0,95)} $À l'aide d'une calculatrice, on trouve $ \dfrac{\ln(0,3)}{\ln(0,95)} \approx 23,45 $.
Comme $ n $ est un entier naturel, on en déduit $ n \geqslant 24 $.- Cela signifie qu'à partir de l'année $ 2013 + 24 = 2037 $, la forêt comptera au moins $ 57\ 000 $ arbres.
L'algorithme qui affiche tous les termes du rang 0 au rang $ n $ est l'algorithme 3.
En effet :- L'algorithme 1 ne demande pas $ n $ et affiche un rang à la fin.
- L'algorithme 2 n'affiche que le dernier terme calculé (car l'affichage est en dehors de la boucle).
- L'algorithme 3 affiche la valeur actuelle de $ U $ ($ u_I $) avant de calculer la suivante à chaque passage dans la boucle, et affiche la dernière valeur après la boucle.
- La valeur 24 affichée par l'algorithme 1 pour $ A = 57\ 000 $ confirme notre résultat de la question 3 : c'est en 2037 que le nombre d'arbres dépassera pour la première fois les $ 57\ 000 $ unités.