Suites – Bac blanc ES/L Sujet 4 – Maths-cours 2018

Pour tout entier naturel $ n $, la somme $ {a_n+b_n} $ représente le nombre total d'abonnés (en milliers) chez ce fournisseur d'accès internet.

D'après l'énoncé ce nombre est stable et correspond à 2 millions, soit 2 000 milliers d'abonnés.

Par conséquent, pour tout entier naturel $ n $ :

$ a_{n+1} $ représente le nombre d'abonnés, en milliers, à la formule « Start » l'année $ 2010+n+1 $.

Ce nombre comporte :

• les abonnés à la formule « Start » de l'année précédente qui se réinscrivent à cette même formule, c'est à dire 70% de $ a_n $ soit $ 0,7a_n $ ;
• les abonnés à la formule « Plus » de l'année précédente qui décident de migrer vers la formule « Start », c'est à dire 10% de $ b_n $ soit $ 0,1b_n $ ;

Au total, on obtient :

D'après la question 1., $ a_n+b_n = 2~000 $ donc $ b_n = 2~000 - a_n $.

Comme $ a_{n+1} =0,7a_n+0,1b_n $, alors :

$ a_{n+1} =0,7a_n+0,1(2~000 - a_n) $
$ \phantom{a_{n+1}} =0,7a_n+200 - 0,1a_n $
$ \phantom{a_{n+1}} =0,6a_n+200. $

1. Pour tout entier naturel $ n $ :

   $ u_{n+1}=a_{n+1} - 500 $

   $ \phantom{u_{n+1}}=0,6a_n+200 - 500 $

   $ \phantom{u_{n+1}}=0,6a_n - 300 $.

   Or $ u_n=a_n - 500 $ donc $ a_n=u_n+500 $ ; alors :

   $ u_{n+1}=0,6(u_n+500) - 300 $

   $ \phantom{u_{n+1}}=0,6u_n+500 - 500 $

   $ \phantom{u_{n+1}}=0,6u_n $.

   De plus, comme $ {u_0=a_0 - 500=1~500 - 500=1~000} $, la suite $ (u_n) $ est une suite géométrique de premier terme $ {u_0=1~000} $ et de raison $ {q=0,6} $.

2. Par conséquent :

   $ u_n=u_0q^n=1~000 \times 0,6^n $.

3. En utilisant la question précédente et la relation $ {a_n=u_n+500} $, on en déduit que pour tout entier naturel $ n $ :

   $ a_n=u_n+500=500+1~000 \times 0,6^n $.

D'après la question précédente, pour tout entier naturel $ n $ :

$ a_{n+1} - a_n=500+1000 \times 0,6^{n+1} - \left[500+1000 \times 0,6^n\right] $

$ \phantom{a_{n+1} - a_n}=500+1000 \times 0,6^{n+1} - 500 - 1000 \times 0,6^n $

$ \phantom{a_{n+1} - a_n}=1000 \times 0,6^{n+1} - 1000 \times 0,6^n $.

Or $ 0,6^{n+1}=0,6^n \times 0,6 $, donc :

$ a_{n+1} - a_n=1000 \times 0,6^n \times 0,6 - 1000 \times 0,6^n $

$ \phantom{a_{n+1} - a_n}=1000 \times 0,6^{n}[0,6 - 1) $

$ \phantom{a_{n+1} - a_n}= - 0,4 \times 1000 \times 0,6^{n} $.

$ a_{n+1} - a_n $ est strictement négatif pour tout entier naturel $ n $, donc la suite $ (a_n) $ est strictement décroissante.

À retenir

Pour démontrer qu'une suite $ (u_n) $ est croissante, on montre que pour tout entier naturel $ n $ :

Pour démontrer qu'une suite $ (u_n) $ est décroissante, on montre que pour tout entier naturel $ n $ :

Comme $ 0 < 0,6 < 1 $, $ {\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}0,6^n=0} $ et $ {\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}1000 \times 0,6^n=0} $. Par conséquent :

$ \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}a_n = \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}500+1000 \times 0,6^n =500. $

On en déduit que le nombre d'abonnés à la formule « Start » va décroître et se rapprocher de 500.

1. Solution n°1

   On sait que pour tout entier naturel $ n $ : $ a_{n+1}=0,6a_n+200 $.

   En particulier $ a_1=0,6a_0+200 $.

   $ a_0 $ est situé dans la cellule B2. On peut donc saisir dans la cellule C2 :

   =0,6[i]B2+200

   Solution n°2

   On sait que pour tout entier naturel $ n $ : $ a_{n}=500+1000 \times 0,6^n $.

   En particulier $ a_1=500+1000 \times 0,6^1 $.

   Les indices sont situés sur la ligne n°1 ; l'indice 1 est situé dans la cellule C1. On peut donc saisir dans la cellule C2 :

   =500+1000[/i]PUISSANCE(0,6 ; C1)

2. Pour tout entier naturel $ n $, $ b_n=2~000 - a_n $.
   En particulier : $ {b_0=2~000 - a_0} $.

   $ a_0 $ est situé dans la cellule B2. On peut donc saisir dans la cellule B3 :

   =2000-B2

   Remarque : D'autres solutions sont également possibles.

   Théorème

   À retenir

   Dans un tableur, une formule mathématique doit débuter par le signe = pour être exécutée.