Exercice 2 (6 points)
L’objectif de ce problème est d’étudier la convergence de la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et pour tout entier naturel $n$ :
$u_{n+1} = 0,9u_n+2.$
Partie A
Étude graphique
Sur le graphique fourni en Annexe (voir ci-dessous), on a représenté les droites $D$ et $\Delta$ d’équations respectives $y=0,9x+2$ et $y=x$.
Ces deux droites se coupent en un point $M$.
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Déterminer, par le calcul, les coordonnées exactes du point $M$.
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$A_0$ est le point de la droite $D$ d’abscisse $u_0=2$.
Expliquer pourquoi l’ordonnée de $A_0$ est égale à $u_1$.
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$B_1$ est le point de la droite $\Delta$ tel que la droite $(A_0B_1)$ est parallèle à l’axe des abscisses.
Exprimer, en fonction de $u_1$, les coordonnées de $B_1$.
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Compléter le graphique de l’annexe de manière à faire apparaître, sur l’axe des abscisses, les valeurs de $u_1,\ u_2,\ u_3,\ u_4,\ u_5$ et $u_6$.
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À l’aide du graphique, conjecturer la limite de la suite $(u_n)$.
Partie B
Utilisation d’une suite annexe
Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n=u_n – 20$.
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Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
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Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
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Montrer que pour tout entier naturel $n$ :
$u_n=20 – 18 \times 0,9^n.$
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En déduire la limite de la suite $(u_n)$.
ANNEXE
À rendre avec la copie
Corrigé
Partie A
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Le point $M$ est le point d’intersection des droites $D$ et $\Delta$ d’équations $y=0,9x+2$ et $y=x$.
Son abscisse $x_M$ est donc solution de l’équation $0,9x_M+2 = x_M$.
$0,9x_M+2 = x_M\ \Leftrightarrow \ 2=x_M – 0,9x_M$
$\phantom{0,9x_M+2 = x_M}\ \Leftrightarrow \ 2=0,1x_M$
$\phantom{0,9x_M+2 = x_M}\ \Leftrightarrow \ \dfrac{2}{0,1}=x_M$
$\phantom{0,9x_M+2 = x_M}\ \Leftrightarrow \ x_M=20$.
Comme le point $M$ est situé sur la droite $\Delta$ d’équation $y=x$ son ordonnée est $y_M=x_M=20$.
Les coordonnées de $M$ sont donc $(20~;~20)$.
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Le point $A_0$ est situé sur la droite $D$ d’équation $y=0,9x+2$.
Son abscisse est $u_0$ ; son ordonnée est donc :
$y_{A_0}=0,9u_0+2$
Or, d’après la définition de la suite $(u_n)$ : $u_1=0,9u_0+2$ ; par conséquent $y_{A_0}=u_1$.
L’ordonnée de $A_0$ est donc $u_1$.
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La droite $(A_0B_1)$ est parallèle à l’axe des abscisses donc l’ordonnée de $B_1$ est égale à l’ordonnée de $A_0$ c’est à dire $u_1$.
Comme le point $B_1$ appartient à la droite $\Delta$ d’équation $y=x$ :
$y_{B_1}=x_{B_1}=u_1$
Les coordonnées du point $B$ sont $(u_1~;~u_1)$.
On réitère la procédure de la manière suivante :
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on trace la droite parallèle à l’axe des ordonnées passant par le point $B_1$ ; cette droite coupe $D$ en un point $A_1(u_1~;~u_2)$
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on trace la droite parallèle à l’axe des abscisses passant par le point $A_1$ ; cette droite coupe $D$ en un point $B_2(u_2~;~u_2)$
et ainsi de suite…
On obtient ainsi le graphique ci-après :
{\footnotesize (Les ordonnées des points n’ont pas été indiquées pour ne pas surcharger la figure)}
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On conjecture que lorsque $n$ augmente, les points $A_n$ et $B_n$ se rapprochent du point $M$ et donc que :
$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n =20.$
Partie B
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Pour tout entier naturel $n$ :
$v_{n+1}=u_{n+1} – 20$
$\phantom{v_{n+1}}=0,9u_n+2 – 20$
$\phantom{v_{n+1}}=0,9u_n – 18$.
Or $v_n=u_n – 20$ donc $u_n=v_n+20$ ; alors :
$v_{n+1}=0,9(v_n+20) – 18$
$\phantom{v_{n+1}}=0,9v_n+18 – 18$
$\phantom{v_{n+1}}=0,9v_n$.
De plus ${v_0=u_0 – 20=2 – 20= – 18}$ ; par conséquent, la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de premier terme ${v_0= – 18}$ et de raison ${q=0,9}$.
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On en déduit que :
$v_n=v_0q^n= – 18 \times 0,9^n$.
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En utilisant la question précédente et la relation $u_n=v_n+20$ on obtient, pour tout entier naturel $n$ :
$u_n=v_n+20=20 – 18 \times 0,9^n$.
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${0 \leqslant 0,9 < 1}\$ donc $\ \lim\limits_{n \rightarrow +\infty } 0,9^n = 0$.
Alors :
$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}18 \times 0,9^n = 0\$ et $\ \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}20 – 18 \times 0,9^n = 20$.
La suite $(u_n)$ converge vers 20.
À retenir
Soit $q$ un nombre réel positif ou nul.
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Si \bm{0 \leqslant q < 1}, alors \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}q^n=\bm{0}.
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Si \bm{q > 1}, alors \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}q^n=\bm{+\infty}.
(Remarque : si $q=1$ alors $q^n=1$ pour tout entier naturel $n$, donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}q^n=1)$.
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