Exercice 4 (5 points)
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
L’objet de cet exercice est l’étude de la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par son premier terme $u_{1}=\dfrac{3}{2}$ et la relation de récurrence : $u_{n+1} =\dfrac{\nu_{n}+1}{2\left(n+1\right)}$.
Partie A – Algorithmique et conjectures
Pour calculer et afficher le terme $u_{9}$ de la suite, un élève propose l’algorithme ci-contre.
Il a oublié de compléter deux lignes.
| Variables | $n$ est un entier naturel |
| $u$ est un réel | |
| Initialisation | Affecter à $n$ la valeur 1 |
| Affecter à $u$ la valeur 1,5 | |
| Traitement | Tant que $n < 9$ |
| $\quad$ Affecter à $u$ la valeur … | |
| $\quad$ Affecter à $n$ la valeur … | |
| Fin Tant que | |
| Sortie | Afficher la variable $u$ |
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Recopier et compléter les deux lignes de l’algorithme où figurent des points de suspension.
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Comment faudrait-il modifier cet algorithme pour qu’il calcule et affiche tous les termes de la suite de $u_{2}$ jusqu’à $u_{9}$ ?
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Avec cet algorithme modifié, on a obtenu les résultats suivants, arrondis au dix-millième:
$n$ 1 2 3 4 5 6 … 99 100 $u_{n}$ 1,5 0,625 0,375 0,2656 0,2063 0,1693 … 0,0102 0,0101 Au vu de ces résultats, conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$.
Partie B – Étude mathématique
On définit une suite auxiliaire $\left(v_{n}\right)$ par : pour tout entier $n\geqslant 1$, $v _{n}=\nu_{n} – 1$.
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Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.
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En déduire que, pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, on a : $u_{n}=\dfrac{1+\left(0,5\right)^{n}}{n}$.
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Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
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Justifier que, pour tout entier $n\geqslant 1$ , on a : $u_{n+1} – u_{n}= – \dfrac{1+\left(1+0,5n\right)\left(0,5\right)^{n}}{n\left(n+1\right)}$.
En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
Partie C – Retour à l’algorithmique
En s’inspirant de la partie A, écrire un algorithme permettant de déterminer et d’afficher le plus petit entier $n$ tel que $u_{n} < 0,001$.
