Suite et récurrence – Exercice de synthèse

Méthode : On part de $2 – \dfrac{5}{u_{n}+4}$ et on réduit au même dénominateur

$2 – \dfrac{5}{u_{n}+4} = \dfrac{2\left(u_{n}+4\right)}{u_{n}+4} – \dfrac{5}{u_{n}+4} = \dfrac{2u_{n}+8 – 5}{u_{n}+4} = \dfrac{2u_{n}+3}{u_{n}+4} = u_{n+1}$

Initialisation : $u_{0}=2$ donc $1\leqslant u_{0} \leqslant 2$

La propriété est vraie au rang 0.

Hérédité : On suppose que pour un certain entier $n$ : $1\leqslant u_{n} \leqslant 2$ (Hypothèse de récurrence)
et on va montrer que $1\leqslant u_{n+1} \leqslant 2$

$1\leqslant u_{n} \leqslant 2$ donc :

$5\leqslant u_{n}+4 \leqslant 6$

On inverse chaque membre :

$\dfrac{1}{6}\leqslant \dfrac{1}{u_{n}+4} \leqslant \dfrac{1}{5}$ car la fonction inverse est strictement décroissante sur $\left]0;+\infty \right[$

On multiplie chaque membre par $- 5$ (on change une nouvelle fois le sens car $- 5$ est négatif)

$- \dfrac{5}{5}\leqslant – \dfrac{5}{u_{n}+4} \leqslant – \dfrac{5}{6}$

Enfin on ajoute $2$ à chaque membre :

$2 – 1\leqslant 2 – \dfrac{5}{u_{n}+4} \leqslant 2 – \dfrac{5}{6}$

$1\leqslant u_{n+1} \leqslant \dfrac{7}{6}$

Or $\dfrac{7}{6} < 2$ donc on a bien :

$1\leqslant u_{n+1} \leqslant 2$ ce qui montre la propriété par récurrence.

Conclusion : Pour tout entier $n\in \mathbb{N}$, $1\leqslant u_{n} \leqslant 2$

$u_{n+1} – u_{n} = \dfrac{2u_{n}+3}{u_{n}+4} – u_{n} = \dfrac{2u_{n}+3}{u_{n}+4} – \dfrac{u_{n}\left(u_{n}+4\right)}{u_{n}+4} = \dfrac{2u_{n}+3 – u_{n}^{2} – 4u_{n}}{u_{n}+4}$

$u_{n+1} – u_{n}=\dfrac{ – u_{n}^{2} – 2u_{n}+3}{u_{n}+4}$

On étudie le signe de $- u_{n}^{2} – 2u_{n}+3$ qui est un polynôme du second degré en $u_{n}$

$\Delta =\left( – 2\right)^{2} – 4\times \left( – 1\right)\times 3=16$

Le polynôme possède donc 2 racines :

$x_{1}=\dfrac{2 – 4}{ – 2}=1$ et $x_{2}=\dfrac{2+4}{ – 2}= – 3$

$- u_{n}^{2} – 2u_{n}+3$ est donc négatif ou nul si $u_{n} \in \left] – \infty ; – 3\right] \cup \left[1;+\infty \right[$

et positif ou nul si $u_{n} \in \left[ – 3;1\right]$.

Or d’après la question précédente $1\leqslant u_{n} \leqslant 2$ donc $- u_{n}^{2} – 2u_{n}+3$ est négatif ou nul pour tout entier $n\in \mathbb{N}$

Par ailleurs, comme $u_{n} \geqslant 1$, $u_{n}+4$ est strictement positif donc :

$u_{n+1} – u_{n} = \dfrac{ – u_{n}^{2} – 2u_{n}+3}{u_{n}+4} \leqslant 0$

La suite $\left(u_{n}\right)$ est donc décroissante

La suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante et minorée par 1 donc elle est convergente (voir théorème)

Méthode : On fait tendre $n$ vers $+\infty$ dans chaque membre de l’égalité $u_{n+1}=\dfrac{2u_{n}+3}{u_{n}+4}$

Si $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }u_{n}=l$ alors :

$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }u_{n+1}=l$

et :

$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\dfrac{2u_{n}+3}{u_{n}+4}=\dfrac{2l+3}{l+4}$

Comme $u_{n+1}=\dfrac{2u_{n}+3}{u_{n}+4}$, par passage à la limite :

$l=\dfrac{2l+3}{l+4}$

c’est à dire

$l\left(l+4\right)=\left(2l+3\right)$

$l^{2}+4l – 2l – 3=0$

$l^{2}+2l – 3=0$

Cette équation (équivalente à celle résolue plus haut) possède deux solutions : $1$ et $- 3$.

Comme $1 \leqslant u_{n} \leqslant 2$ la limite ne peut pas être égale à $- 3$ donc $l=1$.

En conclusion $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }u_{n}=1$