Suite et algorithme
Variables :
a, u, n : nombres
Entrée :
Saisir un nombre a
Initialisation :
n prend la valeur 0
u prend la valeur 1
Traitement :
Tant que u < a
u prend la valeur 1,05 × u
n prend la valeur n + 1
Fin Tant que
Sortie :
Afficher n- Que fait cet algorithme ?
- Qu'affiche cet algorithme si on choisit $ a=2 $ ?
- Expliquer pourquoi l'algorithme se termine quelle que soit la valeur saisie pour $ a $.
Corrigé
Cet algorithme permet de déterminer le plus petit entier $ n $ tel que $ u_n \ge a $, où $ (u_n) $ est la suite géométrique de premier terme $ u_0 = 1 $ et de raison $ q = 1,05 $.
Il s'agit de la recherche du premier seuil à partir duquel la suite dépasse la valeur $ a $.
Si on choisit $ a=2 $, l'algorithme calcule les termes successifs de la suite $ (u_n) $ tant qu'ils sont strictement inférieurs à 2 :
- $ u_0 = 1 $
- $ u_1 = 1,05 $
- ...
- $ u_{14} = 1,05^{14} \approx 1,98 $
- $ u_{15} = 1,05^{15} \approx 2,08 $
Le premier terme supérieur ou égal à 2 est $ u_{15} $.
L'affichage en sortie est donc 15.La suite $ (u_n) $ est une suite géométrique de raison $ q = 1,05 $.
Comme $ q > 1 $ et $ u_0 > 0 $, la suite est strictement croissante et sa limite est $ +\infty $ :$ \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty $Par définition de la limite, pour tout nombre réel $ a $, il existe un rang à partir duquel tous les termes de la suite sont supérieurs à $ a $.
L'algorithme se terminera donc quelle que soit la valeur du nombre réel $ a $ saisie.