Exercices
25 min
Non commencé
Récurrence : Calcul de sommes
Montrer que pour tout entier naturel $ n $ non nul :
- $ \sum_{k=1}^{n}k\left(k+1\right) = \dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3} $
- $ \sum_{k=1}^{n}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)= \dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{4} $
Corrigé
- Initialisation
On commence l'initialisation à $ n=1 $ car l'énoncé précise que $ n $ est un entier naturel non nul.
La somme $ \sum_{k=1}^{1}k\left(k+1\right) $ ne contient alors qu'un terme qui est $ 1\times \left(1+1\right)=2 $
Or $ 2 $ est bien égal à $ \dfrac{1\times \left(1+1\right)\times \left(1+2\right)}{3} $
La proposition est donc vraie pour $ n=1 $
Hérédité
On suppose que la propriété est vraie pour un certain entier $ n $. C'est à dire que pour cet entier $ n $ on a :
$ \sum_{k=1}^{n}k\left(k+1\right) = \dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3} $ (Hypothèse de récurrence)
et on va montrer qu'alors :
$ \sum_{k=1}^{n\color{red}{+1}}k\left(k+1\right) = \dfrac{\left(n\color{red}{+1}\right)\left(n\color{red}{+2}\right)\left(n\color{red}{+3}\right)}{3} $(on a remplacé $ n $ par $ n+1 $ dans la formule que l'on souhaite prouver).
On va calculer $ \sum_{k=1}^{n\color{red}{+1}}k\left(k+1\right) $ en isolant le dernier terme de notre somme :
$ \sum_{k=1}^{n\color{red}{+1}}k\left(k+1\right) = 1\times 2 + 2\times 3 + 3\times 4 + . . . + n\left(n+1\right) \color{red}{+ \left(n+1\right)\left(n+2\right)} $
or si on regroupe tous les termes sauf le dernier (qui est en rouge) :
$ 1\times 2 + 2\times 3 + 3\times 4 + . . . + n\left(n+1\right) = \sum_{k=1}^{n}k\left(k+1\right)= \dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3} $ parhypothèse de récurrence.
Par conséquent :
$ \sum_{k=1}^{n\color{red}{+1}}k\left(k+1\right)=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\color{red}{+\left(n+1\right)\left(n+2\right)} $
$ \sum_{k=1}^{n\color{red}{+1}}k\left(k+1\right)=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}+\dfrac{3\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3} $
$ \sum_{k=1}^{n\color{red}{+1}}k\left(k+1\right)=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+3\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3} $
$ \sum_{k=1}^{n\color{red}{+1}}k\left(k+1\right)=\dfrac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{3} $ ( en mettant $ \left(n+1\right)\left(n+2\right) $ en facteur )
ce qui correspond bien à la formule que nous souhaitions montrer.
En conclusion, nous avons bien démontré que pour pour tout entier $ n $ strictement positif :
$ \sum_{k=1}^{n}k\left(k+1\right) = \dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3} $ - La démonstration est analogue.
Initialisation
On commence là encore l'initialisation à $ n=1 $.
La somme $ \sum_{k=1}^{1}k\left(k+1\right)\left(k+2\right) $ ne contient alors qu'un seul terme qui est $ 1\times \left(1+1\right)\times \left(1+2\right)=1\times 2\times 3=6 $
Or $ 6 $ est égal à $ \dfrac{1\times \left(1+1\right)\times \left(1+2\right)\times \left(1+3\right)}{4} $
La proposition est donc vraie pour $ n=1 $
Hérédité
On suppose que la propriété est vraie pour un certain entier $ n $ :
$ \sum_{k=1}^{n}k\left(k+1\right)\left(k+2\right) = \dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{4} $ (Hypothèse de récurrence)
et on va montrer qu'alors :
$ \sum_{k=1}^{n\color{red}{+1}}k\left(k+1\right)\left(k+2\right) = \dfrac{\left(n\color{red}{+1}\right)\left(n\color{red}{+2}\right)\left(n\color{red}{+3}\right)\left(n\color{red}{+4}\right)}{4} $(on a remplacé $ n $ par $ n+1 $ dans la formule que l'on souhaite démontrer).
On calcule $ \sum_{k=1}^{n\color{red}{+1}}k\left(k+1\right)\left(k+2\right) $ en isolant le dernier terme :
$ \sum_{k=1}^{n\color{red}{+1}}k\left(k+1\right)\left(k+2\right) $
$ = 1\times 2\times 3 + 2\times 3\times 4 + 3\times 4\times 5 + . . . + n\left(n+1\right)\left(n+2\right) \color{red}{+ \left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)} $
On regroupe tous les termes sauf le dernier :
$ 1\times 2\times 3 + 2\times 3\times 4 + 3\times 4\times 5 + . . . + n\left(n+1\right)\left(n+2\right) $
$ = \sum_{k=1}^{n}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)= \dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{4} $ parhypothèse de récurrence.
Donc:
$ \sum_{k=1}^{n\color{red}{+1}}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{4}\color{red}{+\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)} $
$ \sum_{k=1}^{n\color{red}{+1}}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{4}+\dfrac{4\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{4} $
$ \sum_{k=1}^{n\color{red}{+1}}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)+4\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{4} $
$ \sum_{k=1}^{n\color{red}{+1}}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)=\dfrac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)}{4} $ ( en mettant $ \left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right) $ en facteur )
C'est bien ce que nous souhaitions trouver !
En conclusion, pour pour tout entier $ n $ strictement positif :
$ \sum_{k=1}^{n}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)= \dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{4} $