Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul :
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$\sum_{k=1}^{n}k\left(k+1\right) = \dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}$
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$\sum_{k=1}^{n}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)= \dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{4}$
Corrigé
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Initialisation
On commence l’initialisation à $n=1$ car l’énoncé précise que $n$ est un entier naturel non nul.
La somme $\sum_{k=1}^{1}k\left(k+1\right)$ ne contient alors qu’un terme qui est $1\times \left(1+1\right)=2$
Or $2$ est bien égal à $\dfrac{1\times \left(1+1\right)\times \left(1+2\right)}{3}$
La proposition est donc vraie pour $n=1$
Hérédité
On suppose que la propriété est vraie pour un certain entier $n$. C’est à dire que pour cet entier $n$ on a :
$\sum_{k=1}^{n}k\left(k+1\right) = \dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}$ (Hypothèse de récurrence)
et on va montrer qu’alors :
$\sum_{k=1}^{n\color{red}{+1}}k\left(k+1\right) = \dfrac{\left(n\color{red}{+1}\right)\left(n\color{red}{+2}\right)\left(n\color{red}{+3}\right)}{3}$(on a remplacé $n$ par $n+1$ dans la formule que l’on souhaite prouver).
On va calculer $\sum_{k=1}^{n\color{red}{+1}}k\left(k+1\right)$ en isolant le dernier terme de notre somme :
$\sum_{k=1}^{n\color{red}{+1}}k\left(k+1\right) = 1\times 2 + 2\times 3 + 3\times 4 + . . . + n\left(n+1\right) \color{red}{+ \left(n+1\right)\left(n+2\right)}$
or si on regroupe tous les termes sauf le dernier (qui est en rouge) :
$1\times 2 + 2\times 3 + 3\times 4 + . . . + n\left(n+1\right) = \sum_{k=1}^{n}k\left(k+1\right)= \dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}$ par hypothèse de récurrence.
Par conséquent :
$\sum_{k=1}^{n\color{red}{+1}}k\left(k+1\right)=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\color{red}{+\left(n+1\right)\left(n+2\right)}$
$\sum_{k=1}^{n\color{red}{+1}}k\left(k+1\right)=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}+\dfrac{3\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}$
$\sum_{k=1}^{n\color{red}{+1}}k\left(k+1\right)=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+3\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}$
$\sum_{k=1}^{n\color{red}{+1}}k\left(k+1\right)=\dfrac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{3}$ ( en mettant $\left(n+1\right)\left(n+2\right)$ en facteur )
ce qui correspond bien à la formule que nous souhaitions montrer.
En conclusion, nous avons bien démontré que pour pour tout entier $n$ strictement positif :
$\sum_{k=1}^{n}k\left(k+1\right) = \dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}$
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La démonstration est analogue.
Initialisation
On commence là encore l’initialisation à $n=1$.
La somme $\sum_{k=1}^{1}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)$ ne contient alors qu’un seul terme qui est $1\times \left(1+1\right)\times \left(1+2\right)=1\times 2\times 3=6$
Or $6$ est égal à $\dfrac{1\times \left(1+1\right)\times \left(1+2\right)\times \left(1+3\right)}{4}$
La proposition est donc vraie pour $n=1$
Hérédité
On suppose que la propriété est vraie pour un certain entier $n$ :
$\sum_{k=1}^{n}k\left(k+1\right)\left(k+2\right) = \dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{4}$ (Hypothèse de récurrence)
et on va montrer qu’alors :
$\sum_{k=1}^{n\color{red}{+1}}k\left(k+1\right)\left(k+2\right) = \dfrac{\left(n\color{red}{+1}\right)\left(n\color{red}{+2}\right)\left(n\color{red}{+3}\right)\left(n\color{red}{+4}\right)}{4}$(on a remplacé $n$ par $n+1$ dans la formule que l’on souhaite démontrer).
On calcule $\sum_{k=1}^{n\color{red}{+1}}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)$ en isolant le dernier terme :
$\sum_{k=1}^{n\color{red}{+1}}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)$
$= 1\times 2\times 3 + 2\times 3\times 4 + 3\times 4\times 5 + . . . + n\left(n+1\right)\left(n+2\right) \color{red}{+ \left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}$
On regroupe tous les termes sauf le dernier :
$1\times 2\times 3 + 2\times 3\times 4 + 3\times 4\times 5 + . . . + n\left(n+1\right)\left(n+2\right)$
$= \sum_{k=1}^{n}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)= \dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{4}$ par hypothèse de récurrence.
Donc:
$\sum_{k=1}^{n\color{red}{+1}}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{4}\color{red}{+\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}$
$\sum_{k=1}^{n\color{red}{+1}}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{4}+\dfrac{4\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{4}$
$\sum_{k=1}^{n\color{red}{+1}}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)+4\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{4}$
$\sum_{k=1}^{n\color{red}{+1}}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)=\dfrac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)}{4}$ ( en mettant $\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)$ en facteur )
C’est bien ce que nous souhaitions trouver !
En conclusion, pour pour tout entier $n$ strictement positif :
$\sum_{k=1}^{n}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)= \dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{4}$