Section plane d’un cube

1. Dans le triangle $ GDB $, $ M $ est le milieu de $ [GD] $ et $ N $ est le milieu de $ [GB] $. On a donc (théorème de Thalès) :

   $ \overrightarrow{MN} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{DB} $

   ce qui démontre que la droite $ \left(MN\right) $ est parallèle à la droite $ \left(BD\right) $.

2. Traçons dans le plan $ \left(ABCD\right) $ la droite $ (d) $ passant par $ A $ et parallèle à la droite $ \left(BD\right) $. $ (d) $ est aussi parallèle à la droite $ \left(MN\right) $, ce qui implique qu'elle appartient au plan $ \left(AMN\right) $. $ (d) $ représente donc l'intersection du plan $ \left(AMN\right) $ avec le plan $ \left(ABCD\right) $.
3. L'intersection du plan $ \left(AMN\right) $ avec la droite $ \left(DC\right) $ est le point $ I $ qui se trouve à l'intersection des droites $ (d) $ et $ \left(DC\right) $.
4. Le point $ I $ se trouve dans les plans $ \left(AMN\right) $ et $ \left(CDHG\right) $. Il en va de même du point $ M $. La droite $ \left(IM\right) $ est donc l'intersection des plans $ \left(AMN\right) $ et $ \left(CDHG\right) $, ce qui permet de construire la trace $ [PQ] $ du plan $ \left(AMN\right) $ sur la face $ CDHG $.
5. Les points $ Q $ et $ N $ étant communs aux plans $ \left(AMN\right) $ et $ \left(BCGF\right) $, on peut de même construire la trace $ [QR] $ du plan $ \left(AMN\right) $ sur la face $ BCGF $. Le quadrilatère $ APQR $ représente la section du cube $ ABCDEFGH $ par le plan $ \left(AMN\right) $.

NB. On peut démontrer que $ APQR $ est un losange dont le côté mesure $ \dfrac{a\sqrt{10}}{3} $, $ a $ étant la longueur de l'arête du cube $ ABCDEFGH $.

(Solution rédigée par Paki)