[ROC] Limites de la fonction exponentielle

Prérequis : La fonction exponentielle (notée $ \text{exp} $ ou $ x\mapsto e^{x} $) est l'unique fonction dérivable sur $ \mathbb{R} $ telle que :

$ \text{exp}^{\prime}=\text{exp} $

$ \text{exp}\left(0\right)=1 $

La fonction exponentielle est strictement croissante et strictement positive sur $ \mathbb{R} $.

Pour tous réels $ a $ et $ b $ :

L'objectif de cet exercice est de démontrer les principaux résultats concernant les limites de la fonction exponentielle.

Soit la fonction $ f $ définie sur $ \mathbb{R} $ par $ f\left(x\right)=e^{x} - x $.

Etudier le sens de variation de la fonction $ f $.
En déduire que pour tout réel $ x $ : $ e^{x} > x $.

Montrer que $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }e^{x}=+\infty $
A l'aide de la question précédente, montrer que $ \lim\limits_{x\rightarrow - \infty }e^{x}=0 $

Soit la fonction $ g $ définie sur $ \mathbb{R} $ par $ g\left(x\right)=e^{x} - \dfrac{x^{2}}{2} $.

Etudier le sens de variation de la fonction $ g $.

Montrer que $ g\left(x\right) > 0 $ pour tout $ x > 0 $.
En déduire la limite quand $ x $ tend vers $ +\infty $ de $ \dfrac{e^{x}}{x} $.
Montrer que $ \lim\limits_{x\rightarrow - \infty }x e^{x}=0 $.

Corrigé

$ f^{\prime}\left(x\right)=e^{x} - 1 $

$ f^{\prime}\left(x\right) > 0 \Leftrightarrow e^{x} - 1 > 0 \Leftrightarrow e^{x} > 1 \Leftrightarrow e^{x} > e^{0} \Leftrightarrow x > 0 $ car le fonction exponentielle est strictement croissante.

Par ailleurs $ f\left(0\right)=e^{0} - 0=1 $.

On en déduit le tableau de variation de $ f $
Le tableau précédent montre que pour tout $ x \in \mathbb{R} $, $ f\left(x\right) > 0 $, c'est à dire $ e^{x} > x $.

Or $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x=+\infty $. Donc d'après le théorème de comparaison pour les limites infinies : $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }e^{x}=+\infty $
On pose $ X= - x $. Lorsque $ x\rightarrow - \infty $, $ X\rightarrow +\infty $ et :

$ \lim\limits_{x\rightarrow - \infty }e^{x}=\lim\limits_{X\rightarrow +\infty }e^{ - X}=\lim\limits_{X\rightarrow +\infty }\dfrac{1}{e^{X}} $

Or d'après la question précédente $ \lim\limits_{X\rightarrow +\infty }e^{X}=+\infty $ donc par quotient :

$ \lim\limits_{X\rightarrow +\infty }\dfrac{1}{e^{X}}=0 $

En conclusion : $ \lim\limits_{x\rightarrow - \infty }e^{x}=0 $

$ g^{\prime}\left(x\right)=e^{x} - x=f\left(x\right) > 0 $ pour tout $ x \in \mathbb{R} $.

Donc la fonction $ g $ est croissante sur $ \mathbb{R} $

On en déduit que pour $ x > 0 $, $ g\left(x\right) > g\left(0\right)=1 > 0 $
Pour $ x $ strictement positif $ g\left(x\right) > 0 $ donc $ e^{x} - \dfrac{x^{2}}{2} > 0 $ donc $ e^{x} > \dfrac{x^{2}}{2} $

Par conséquent : $ \dfrac{e^{x}}{x} > \dfrac{x}{2} $ et comme $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{x}{2}=+\infty $, d'après le théorème de comparaison pour les limites infinies : $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{e^{x}}{x}=+\infty $
On pose, là encore, $ X= - x $ :

$ \lim\limits_{x\rightarrow - \infty }x e^{x}=\lim\limits_{X\rightarrow +\infty } - X e^{ - X}=\lim\limits_{X\rightarrow +\infty } - \dfrac{X}{e^{X}} $

D'après la question précédente $ \dfrac{e^{X}}{X} $ tend vers $ +\infty $ lorsque $ X\rightarrow +\infty $ donc $ \dfrac{X}{e^{X}} $ (qui est son inverse) tend vers $ 0 $.

Donc $ \lim\limits_{x\rightarrow - \infty }x e^{x}= - 0=0 $.

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