[ROC] Espérance mathématique d’une loi exponentielle
L'objectif de cet exercice est de démontrer que l'espérance mathématique de la loi exponentielle de paramètre $ \lambda $ est $ \dfrac{1}{\lambda } $.
Soient $ a $ et $ b $ deux réels quelconques et $ \lambda $ un réel strictement positif. On considère la fonction $ f $ définie sur l'intervalle $ [0~;~+\infty[ $ par :
- Calculer $ f^{\prime}(x) $.
- Montrer qu'il existe une valeur de $ a $ et une valeur de $ b $ pour lesquelles, pour tout réel $ x \geqslant 0 $, $ f^{\prime}(x)=x\text{e}^{ - \lambda x} $ et déterminer ces valeurs.
L'espérance mathématique d'une variable aléatoire continue $ X $ qui suit une loi de densité $ f $ sur l'intervalle $ \left[a;b\right] $ est $ E\left(X\right)=\int_{a}^{b}xf\left(x\right)dx $.
En particulier, dans le cas de la loi exponentielle de paramètre $ \lambda > 0 $ :
$ E(X)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\lambda x \text{e}^{ - \lambda x}dx $$ =\lim\limits_{t \rightarrow +\infty}\displaystyle\int_{0}^{t}\lambda x \text{e}^{ - \lambda x}dx $.
- Calculer, en fonction de $ t $, $ I(t)=\displaystyle\int_{0}^{t}\lambda x \text{e}^{ - \lambda x}dx $.
En déduire que, pour la loi exponentielle de paramètre $ \lambda $ :
$ E(X)=\dfrac{1}{\lambda } $.
Corrigé
Posons $ u(x)=ax+b $ et $ v(x)=\text{e}^{ - \lambda x} $ ; alors :
$ u^{\prime}(x)=a $ et $ v^{\prime}(x)= - \lambda \text{e}^{ - \lambda x} $.
Par conséquent :
$ f^{\prime}(x)= u^{\prime}(x)v(x)+u(x)v^{\prime}(x) $
$ \phantom{f^{\prime}(x)}=a\text{e}^{ - \lambda x} - \lambda (ax+b)\text{e}^{ - \lambda x} $
$ \phantom{f^{\prime}(x)}=( - \lambda ax+a - \lambda b)\text{e}^{ - \lambda x} $.$ f^{\prime}(x)=x\text{e}^{ - \lambda x} $, pour tout réel $ x \geqslant 0 $, si et seulement si $ - \lambda ax+a - \lambda b $ est identique à $ x $, c'est à dire si et seulement si le couple $ (a~;~b) $ est solution du système :
$ \begin{cases} - \lambda a = 1\\ a - \lambda b = 0 \end{cases} $
La première équation donne immédiatement $ a= - \dfrac{1}{\lambda } $ ; puis, en remplaçant $ a $ dans la seconde, on obtient $ b= - \dfrac{1}{\lambda^2 } $.
Finalement, la fonction $ f $ définie par :
$ f(x)=\left( - \dfrac{1}{\lambda }x - \dfrac{1}{\lambda ^2}\right)\text{e}^{ - \lambda x} $a pour dérivée la fonction $ x \longmapsto x\text{e}^{ - \lambda x} $.
D'après la question précédente, la fonction $ x \longmapsto \left( - \dfrac{1}{\lambda }x - \dfrac{1}{\lambda ^2}\right)\text{e}^{ - \lambda x} $ est une primitive sur $ [0~;~+\infty[ $ de la fonction $ x \longmapsto x\text{e}^{ - \lambda x} $.
On en déduit que :
$ I(t)=\displaystyle\int_{0}^{t}\lambda x \text{e}^{ - \lambda x}dx $
$ \phantom{I(t)} = \lambda\displaystyle\int_{0}^{t} x \text{e}^{ - \lambda x}dx $
$ \phantom{I(t)} = \lambda \left[\left( - \dfrac{1}{\lambda }x - \dfrac{1}{\lambda ^2}\right)\text{e}^{ - \lambda x}\right]_0^t $
$ \phantom{I(t)} = \lambda \left( - \dfrac{1}{\lambda }t - \dfrac{1}{\lambda ^2}\right)\text{e}^{ - \lambda t} - \lambda\left( - \dfrac{1}{\lambda ^2}\right)\text{e}^{ - \lambda 0} $
$ \phantom{I(t)} = - t\text{e}^{ - \lambda t} - \dfrac{1}{\lambda } \text{e}^{ - \lambda t} +\dfrac{1}{\lambda } $.Lorsque $ t $ tend vers $ +\infty $, comme $ \lambda $ est strictement positif $ - \lambda t $ tend vers $ - \infty $.
Alors :
- $ \lim\limits_{t \rightarrow +\infty} \text{e}^{ - \lambda t} =0 $ (par composition)
- $ \lim\limits_{t \rightarrow +\infty} t\text{e}^{ - \lambda t} =0 $ (croissance comparée)
donc, par somme : $ \lim\limits_{t \rightarrow +\infty} - t\text{e}^{ - \lambda t} - \dfrac{1}{\lambda } \text{e}^{ - \lambda t} +\dfrac{1}{\lambda } = \dfrac{1}{\lambda } $.
On a donc bien :
$ E(X) = \dfrac{1}{\lambda }. $