On munit l’espace d’un repère $\left(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)$.
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Montrer que les points $M\left(1 ; 2 ; 0\right)$, $N\left(0 ; – 2 ; 0\right)$ et $L\left( – 1 ; 1 ; 2\right)$ définissent un plan.
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Donner une représentation paramétrique de ce plan.
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Le point $I\left( – 2 ; – 3 ; 2\right)$ appartient-il à ce plan ?
Corrigé
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Pour montrer que les points $M$, $N$ et $L$ définissent un plan, il suffit de montrer que les vecteurs $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{ML}$ ne sont pas colinéaires.
Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{MN}$ sont $\left(0 – 1 ; – 2 – 2 ; 0 – 0\right)=\left( – 1 ; – 4 ; 0\right)$
Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{ML}$ sont $\left( – 1 – 1 ; 1 – 2 ; 2 – 0\right)=\left( – 2 ; – 1 ; 2\right)$
Les coordonnées de ces vecteurs ne sont pas proportionnelles donc $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{ML}$ ne sont pas colinéaires.
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Le plan $\left(MNL\right)$ passe par $M$ et les vecteurs $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{ML}$ sont deux vecteurs non colinéaires de ce plan.
Une représentation paramétrique du plan $\left(MNL\right)$ est donc :
$$\left\{ \begin{matrix} x=1 – t – 2t^{\prime} \\ y=2 – 4t – t^{\prime} \\ z=2t^{\prime} \end{matrix}\right.$$ avec $t \in \mathbb{R}$ et $t^{\prime} \in \mathbb{R}$
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Le point $I$ appartient au plan $\left(MNL\right)$ si et seulement si il existe deux réels $k$ et $k^{\prime}$ tels que :
$$\left\{ \begin{matrix} – 2=1 – t – 2t^{\prime} \\ – 3=2 – 4t – t^{\prime} \\ 2=2t^{\prime} \end{matrix}\right.$$
La dernière égalité donne $t^{\prime}=1$ et en remplaçant $t^{\prime}$ par $1$ dans la première équation on trouve $t=1$. On vérifie qu’alors la seconde équation est également vérifiée.
Le point $I$ appartient donc au plan $\left(MNL\right)$.