Exercices
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Représentation paramétrique d’un plan
On munit l'espace d'un repère $ \left(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right) $.
- Montrer que les points $ M\left(1 ; 2 ; 0\right) $, $ N\left(0 ; - 2 ; 0\right) $ et $ L\left( - 1 ; 1 ; 2\right) $ définissent un plan.
- Donner une représentation paramétrique de ce plan.
- Le point $ I\left( - 2 ; - 3 ; 2\right) $ appartient-il à ce plan ?
Corrigé
- Pour montrer que les points $ M $, $ N $ et $ L $ définissent un plan, il suffit de montrer que les vecteurs $ \overrightarrow{MN} $ et $ \overrightarrow{ML} $ ne sont pas colinéaires.
Les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{MN} $ sont $ \left(0 - 1 ; - 2 - 2 ; 0 - 0\right)=\left( - 1 ; - 4 ; 0\right) $
Les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{ML} $ sont $ \left( - 1 - 1 ; 1 - 2 ; 2 - 0\right)=\left( - 2 ; - 1 ; 2\right) $
Les coordonnées de ces vecteurs ne sont pas proportionnelles donc $ \overrightarrow{MN} $ et $ \overrightarrow{ML} $ ne sont pas colinéaires. Le plan $ \left(MNL\right) $ passe par $ M $ et les vecteurs $ \overrightarrow{MN} $ et $ \overrightarrow{ML} $ sont deux vecteurs non colinéaires de ce plan.
Une représentation paramétrique du plan $ \left(MNL\right) $ est donc :
$ \left\{ \begin{matrix} x=1 - t - 2t^{\prime} \\ y=2 - 4t - t^{\prime} \\ z=2t^{\prime} \end{matrix}\right. $avec
$ t \in \mathbb{R} $et
$ t^{\prime} \in \mathbb{R} $- Le point $ I $ appartient au plan $ \left(MNL\right) $ si et seulement si il existe deux réels $ k $ et $ k^{\prime} $ tels que :
$ \left\{ \begin{matrix} - 2=1 - t - 2t^{\prime} \\ - 3=2 - 4t - t^{\prime} \\ 2=2t^{\prime} \end{matrix}\right. $
La dernière égalité donne $ t^{\prime}=1 $ et en remplaçant $ t^{\prime} $ par $ 1 $ dans la première équation on trouve $ t=1 $. On vérifie qu'alors la seconde équation est également vérifiée.
Le point $ I $ appartient donc au plan $ \left(MNL\right) $.