Représentation paramétrique droites et plans
L'epace est rapporté à un repère $ \left(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right) $.
Soient les points $ A\left(1 ; 0 ; 1\right) $, $ B\left( - 1 ; 2 ; 0\right) $ et $ C\left(0 ; 0 ; - 2\right) $.
- Déterminer une représentation paramétrique de la droite $ \left(AB\right) $
- Déterminer une représentation paramétrique de la parallèle à $ \left(AB\right) $ passant par $ C $
- Déterminer une représentation paramétrique du plan $ \left(ABC\right) $
Corrigé
Les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{AB} $ sont $ \left( - 1 - 1 ; 2 - 0 ; 0 - 1\right)=\left( - 2 ; 2 ; - 1\right) $
La droite $ \left(AB\right) $ passe par $ A $ et admet $ \overrightarrow{AB} $ comme vecteur directeur.
Une représentation paramétrique de la droite $ \left(AB\right) $ est donc :
$ \left\{ \begin{matrix} x=1 - 2t \\ y=2t \\ z=1 - t \end{matrix}\right. $avec
$ t \in \mathbb{R} $Remarque :La représentation paramétrique n'est pas unique; d'autres réponses exactes sont donc possibles.
La droite cherchée passe par $ C $ et admet $ \overrightarrow{AB} $ comme vecteur directeur puisqu'elle est parallèle à la droite $ \left(AB\right) $..
Une représentation paramétrique de cette droite est donc :
$ \left\{ \begin{matrix} x= - 2t \\ y= 2t \\ z= - 2 - t \end{matrix}\right. $avec
$ t \in \mathbb{R} $Les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{AC} $ sont $ \left(0 - 1 ; 0 - 0 ; - 2 - 1\right)=\left( - 1 ; 0 ; - 3\right) $
Le plan $ \left(ABC\right) $ passe par $ A $ et les vecteurs $ \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{AC} $ sont deux vecteurs non colinéaires (car les coordonnées de ces deux vecteurs ne sont pas proportionnelles) de ce plan.
Une représentation paramétrique du plan $ \left(ABC\right) $ est donc :
$ \left\{ \begin{matrix} x=1 - 2t - t^{\prime} \\ y=2t \\ z=1 - t - 3t^{\prime} \end{matrix}\right. $avec
$ t \in \mathbb{R} $et
$ t^{\prime} \in \mathbb{R} $