Exercice 1 (5 points)
Commun à tous les candidats
Les services de la mairie d’une ville ont étudié l’évolution de la population de cette ville. Chaque année, 12,5% de la population quitte la ville et 1 200 personnes s’y installent.
En 2012, la ville comptait 40 000 habitants.
On note $U_{n}$ le nombre d’habitants de la ville en l’année $2012+n$.
On a donc $U_{0}=40 000$.
On admet que la suite $\left(U_{n}\right)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par $U_{n+1}=0,875\times U_{n} +1 200$.
On considère la suite $\left(V_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $V_{n}=U_{n} – 9 600$.
Les questions numérotées de 1 à 5 de cet exercice forment un questionnaire à choix multiples (QCM).
Pour chacune des questions, quatre affirmations sont proposées : une seule réponse est exacte.
Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.
Pour chaque question, le candidat notera sur sa copie le numéro de la question suivi de la proposition qui lui semble correcte.
Aucune justification n’est demandée.
La valeur de $U_{1}$ est :
| a. 6 200 | b. 35 000 | c. 36 200 | d. 46 200 |
La suite $\left(V_{n}\right)$ est :
| a. géométrique de raison $- 12,5\%$ | c. géométrique de raison $- 0,875$ |
| b. géométrique de raison $0,875$ | d. arithmétique de raison $- 9 600$ |
La suite $\left(U_{n}\right)$ a pour limite :
| a. $+\infty$ | b. $0$ | c. $1 200$ | d. $9 600$ |
On considère l’algorithme suivant :
Variables :
$\quad U$, $N$
Initialisation :
$\quad U$ prend la valeur 40 000
$\quad N$ prend la valeur 0
Traitement :
$\quad$Tant que $U > 10 000$
$\quad \quad N$ prend la valeur $N+ 1$
$\quad \quad U$ prend la valeur $0,875 \times U+1 200$
$\quad$Fin du Tant que
Sortie :
$\quad$Afficher $N$
Cet algorithme permet d’obtenir :
| a. la valeur de $U_{40 000}$ | c. le plus petit rang $n$ pour lequel on a $U_{n}\leqslant 10 000$ |
| b. toutes les valeurs de $U_{0}$ à $U_{N}$ | d. le nombre de termes inférieurs à $1 200$ |
La valeur affichée est :
| a. $33$ | b. $34$ | c. $9 600$ | d. $9 970,8$ |
