QCM Suites – Bac ES/L Centres étrangers 2013
Exercice 1 (5 points)
Commun à tous les candidats
Les services de la mairie d'une ville ont étudié l'évolution de la population de cette ville. Chaque année, 12,5% de la population quitte la ville et 1 200 personnes s'y installent.
En 2012, la ville comptait 40 000 habitants.
On note $ U_{n} $ le nombre d'habitants de la ville en l'année $ 2012+n $.
On a donc $ U_{0}=40 000 $.
On admet que la suite $ \left(U_{n}\right) $ est définie pour tout entier naturel $ n $ par $ U_{n+1}=0,875\times U_{n} +1 200 $.
On considère la suite $ \left(V_{n}\right) $ définie pour tout entier naturel $ n $ par $ V_{n}=U_{n} - 9 600 $.
Les questions numérotées de 1 à 5 de cet exercice forment un questionnaire à choix multiples (QCM).
Pour chacune des questions, quatre affirmations sont proposées : une seule réponse est exacte.
Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.
Pour chaque question, le candidat notera sur sa copie le numéro de la question suivi de la proposition qui lui semble correcte.
Aucune justification n'est demandée.
La valeur de $ U_{1} $ est :
a. 6 200 b. 35 000 c. 36 200 d. 46 200 La suite $ \left(V_{n}\right) $ est :
a. géométrique de raison $ - 12,5\% $ c. géométrique de raison $ - 0,875 $ b. géométrique de raison $ 0,875 $ d. arithmétique de raison $ - 9 600 $ La suite $ \left(U_{n}\right) $ a pour limite :
a. $ +\infty $ b. $ 0 $ c. $ 1 200 $ d. $ 9 600 $ On considère l'algorithme suivant :
[b]Variables :[/b] U, N [b]Initialisation :[/b] U prend la valeur 40 000 N prend la valeur 0 [b]Traitement :[/b] Tant que U > 10 000 N prend la valeur N + 1 U prend la valeur 0,875 × U + 1 200 Fin Tant que [b]Sortie :[/b] Afficher NCet algorithme permet d'obtenir :
a. la valeur de $ U_{40 000} $ c. le plus petit rang $ n $ pour lequel on a $ U_{n}\leqslant 10 000 $ b. toutes les valeurs de $ U_{0} $ à $ U_{N} $ d. le nombre de termes inférieurs à $ 1 200 $ La valeur affichée est :
a. $ 33 $ b. $ 34 $ c. $ 9 600 $ d. $ 9 970,8 $
Corrigé
On a $ U_0 = 40\,000 $.
Chaque année, 12,5% de la population quitte la ville et 1 200 personnes s'y installent.
La population en 2013 ($ n=1 $) est donc :$ U_1 = (1 - 0,125) \times U_0 + 1\,200 $
$ U_1 = 0,875 \times 40\,000 + 1\,200 $
$ U_1 = 35\,000 + 1\,200 = 36\,200 $La réponse exacte est la c.
On a $ V_n = U_n - 9\,600 $.
D'où $ V_{n+1} = U_{n+1} - 9\,600 $.
En remplaçant $ U_{n+1} $ par son expression en fonction de $ U_n $ :$ V_{n+1} = 0,875 U_n + 1\,200 - 9\,600 $
$ V_{n+1} = 0,875 U_n - 8\,400 $En factorisant par 0,875 :
$ V_{n+1} = 0,875 \left(U_n - \dfrac{8\,400}{0,875}\right) $
$ V_{n+1} = 0,875 (U_n - 9\,600) $
$ V_{n+1} = 0,875 V_n $La suite $ (V_n) $ est donc géométrique de raison $ 0,875 $.
La réponse exacte est la b.Comme $ (V_n) $ est géométrique de raison $ q = 0,875 $, avec $ |q| < 1 $, on a :
$ \lim\limits_{n \to +\infty} V_n = 0 $Or $ U_n = V_n + 9\,600 $, donc :
$ \lim\limits_{n \to +\infty} U_n = 0 + 9\,600 = 9\,600 $La réponse exacte est la d.
- L'algorithme utilise une boucle "Tant que $ U > 10\,000 $". Il s'arrête dès que $ U $ devient inférieur ou égal à 10 000. La variable $ N $ compte le nombre d'itérations, soit le rang $ n $.
L'algorithme affiche donc le plus petit rang $ n $ pour lequel on a $ U_n \leqslant 10\,000 $.
La réponse exacte est la c. - D'après la question 3, la suite $ (U_n) $ décroît et tend vers 9 600.
En utilisant la calculatrice ou en programmant l'algorithme : - $ U_{32} \approx 10\,023,77 $ (supérieur à 10 000)
- $ U_{33} \approx 9\,970,80 $ (inférieur à 10 000)
L'algorithme s'arrête à $ N = 33 $ car la condition $ U > 10\,000 $ devient fausse.
La réponse exacte est la a.
(Solution rédigée par Paki)