Exercice 2 (4 points)
Commun à tous les candidats
Pour chacune des questions, quatre propositions de réponse sont données dont une seule est exacte.
Pour chacune des questions indiquer, sans justification, la bonne réponse sur la copie. Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Il en est de même dans le cas où plusieurs réponses sont données pour une même question.
L’espace est rapporté à un repère orthonormal. $t$ et $t^{\prime}$ désignent des paramètres réels.
Le plan $\left(P\right)$ a pour équation $x – 2y+3z+5=0$.
Le plan $\left(S\right)$ a pour représentation paramétrique $$\left\{ \begin{matrix} x= – 2+t+2t^{\prime} \\ y= – t – 2t^{\prime} \\ z= – 1 – t+3t^{\prime} \end{matrix}\right.$$
La droite $\left(D\right)$ a pour représentation paramétrique $$\left\{ \begin{matrix} x= – 2+t \\ y= – t \\ z= – 1 – t \end{matrix}\right.$$
On donne \les points de l’espace $M\left( – 1 ; 2 ; 3\right)$ et $N\left(1 ; – 2 ; 9\right)$.
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Une représentation paramétrique du plan $\left(P\right)$ est :
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$$\left\{ \begin{matrix} x=t \\ y=1 – 2t \\ z= – 1+3t \end{matrix}\right.$$
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$$\left\{ \begin{matrix} x=t+2t^{\prime} \\ y=1 – t+t^{\prime} \\ z= – 1 – t \end{matrix}\right.$$
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$$\left\{ \begin{matrix} x=t+t^{\prime} \\ y=1 – t – 2t^{\prime} \\ z=1 – t – 3t^{\prime} \end{matrix}\right.$$
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$$\left\{ \begin{matrix} x=1+2t+t^{\prime} \\ y=1 – 2t+2t^{\prime} \\ z= – 1 – t^{\prime} \end{matrix}\right.$$
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La droite $\left(D\right)$ et \le plan $\left(P\right)$ sont sécants au point $A\left( – 8 ; 3 ; 2\right)$.
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La droite $\left(D\right)$ et \le plan $\left(P\right)$ sont \perpendiculaires.
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La droite $\left(D\right)$ est une droite du plan $\left(P\right)$.
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La droite $\left(D\right)$ et \le plan $\left(P\right)$ sont strictement parallè\les.
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La droite $\left(MN\right)$ et la droite $\left(D\right)$ sont orthogonales.
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La droite $\left(MN\right)$ et la droite $\left(D\right)$ sont parallè\les.
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La droite $\left(MN\right)$ et la droite $\left(D\right)$ sont sécantes.
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La droite $\left(MN\right)$ et la droite $\left(D\right)$ sont confondues.
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Les plans $\left(P\right)$ et $\left(S\right)$ sont parallè\les.
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La droite $\left(\Delta \right)$ de représentation paramétrique
$$\left\{ \begin{matrix} x=t \\ y= – 2 – t \\z= – 3 – t \end{matrix}\right.$$
est la droite d’\intersection des plans $\left(P\right)$ et $\left(S\right)$.
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Le point $M$ appartient à l’\intersection des plans $\left(P\right)$ et $\left(S\right)$.
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Les plans $\left(P\right)$ et $\left(S\right)$ sont \perpendiculaires.
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Corrigé
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Réponse exacte : b. Le plus simple ici est de procéder par é\limination :
La réponse a. n’est pas la représentation paramétrique d’un plan mais d’une droite.
Le plan proposé en c. contient \le point de coordonnées $\left(0;1;1\right)$ qui n’appartient pas à $\left(P\right)$ car $0 – 2\times 1+3\times 1+5 \neq 0$
Le plan proposé en d. contient \le point de coordonnées $\left(1;1; – 1\right)$ qui n’appartient pas à $\left(P\right)$ car $1 – 2\times 1+3\times \left( – 1\right)+5 \neq 0$
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Réponse exacte : c. Soit $M\left(x; y; z\right)$ un point quelconque de $\left(D\right)$, il existe un réel $t$ tel que $$\left\{ \begin{matrix} x= – 2+t \\ y= – t \\ z= – 1 – t \end{matrix}\right.$$
Alors :
$x – 2y+3z+5= – 2+t – 2\left( – t\right)+3\left( – 1 – t\right)+5=t+2t – 3t – 2 – 3+5=0$
Donc \le point $M$ appartient au plan $\left(P\right)$.
La droite $\left(D\right)$ est est donc \incluse dans \le plan $\left(P\right)$.
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Réponse exacte : a. $\overrightarrow{MN}\left(2; – 4;6\right)$
Le \vecteur $\vec{u}\left(1; – 1; – 1\right)$ est un \vecteur directeur de la droite $\left(D\right)$.
$\overrightarrow{MN}.\vec{u}=2\times 1+\left( – 4\right)\times \left( – 1\right)+6\times \left( – 1\right)=0$
Les \vecteurs $\overrightarrow{MN}$ et $\vec{u}$ sont orthogonaux donc \les droites $\left(MN\right)$ et $\left(D\right)$ sont orthogonales.
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Réponse exacte : b. On montre que la droite $\left(\Delta \right)$ est \incluse dans \le plan $\left(P\right)$ de façon analogue à la question 2. Elle est aussi \incluse dans \le plan $\left(S\right)$ (il suffit de faire $t^{\prime}=0$ dans la représentation paramétrique de $\left(S\right)$).
$\left(P\right)$ et $\left(S\right)$ \ne sont pas confondus : par exemple \le point $B\left(0; – 2;2\right)$ appartient à $\left(S\right)$ (prendre $t=0; t^{\prime}=1$) et n’appartient pas à $\left(P\right)$ ($0 – 2\times \left( – 2\right)+3\times 2+5 \neq 0$).
Donc $\left(P\right) \cap \left(S\right) = \left(\Delta \right)$