Exercice 1 (4 points)
Commun à tous les candidats
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n’est demandée. Pour chacune des questions, une seule des propositions est correcte.
Chaque réponse correcte rapporte un point. Une réponse erronée ou une absence de réponse n’ôte pas de point. On notera sur la copie le numéro de la question, suivi de la lettre correspondant à la proposition choisie.
L’espace est rapporté à un repère orthonormé $\left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)$.
Les points $A, B, C$ et $D$ ont pour coordonnées respectives $A\left(1 ; – 1 ; 2\right), B\left(3 ; 3 ; 8\right), C\left( – 3 ; 5 ; 4\right)$ et $D\left(1 ; 2 ; 3\right)$.
On note $\mathscr D$ la droite ayant pour représentation paramétrique
$$\left\{ \begin{matrix} x=t+1 \\ y=2t – 1 \\ z=3t+2 \end{matrix}\right. t \in \mathbb{R}$$
et $\mathscr D ^{\prime}$ la droite ayant pour représentation paramétrique
$$\left\{ \begin{matrix} x=k+1 \\ y=k+3 \\ z= – k+4 \end{matrix}\right. k \in \mathbb{R}$$.
On note $\mathscr P$ \le plan d’équation $x+y – z+2=0$.
Question 1 :
Proposition a. Les droites $\mathscr D$ et $\mathscr D ^{\prime}$ sont parallè\les.
Proposition b. Les droites $\mathscr D$ et $\mathscr D ^{\prime}$ sont coplanaires.
Proposition c. Le point $C$ appartient à la droite $\mathscr D$.
Proposition d. Les droites $\mathscr D$ et $\mathscr D ^{\prime}$ sont orthogonales.
Question 2 :
Proposition a. Le plan $\mathscr P$ contient la droite $\mathscr D$ et est parallè\le à la droite $\mathscr D ^{\prime}$.
Proposition b. Le plan $\mathscr P$ contient la droite $\mathscr D ^{\prime}$ et est parallè\le à la droite $\mathscr D$.
Proposition c. Le plan $\mathscr P$ contient la droite $\mathscr D$ et est orthogonal à la droite $\mathscr D ^{\prime}$.
Proposition d. Le plan $\mathscr P$ contient \les droites $\mathscr D$ et $\mathscr D ^{\prime}$.
Question 3 :
Proposition a. Les points $A, D$ et $C$ sont alignés.
Proposition b. Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. Proposition c. Le triangle $ABC$ est équilatéral.
Proposition d. Le point $D$ est \le milieu du segment $\left[AB\right]$.
Question 4 :
On note $\mathscr P ^{\prime}$ \le plan contenant la droite $\mathscr D ^{\prime}$ et \le point $A$. Un \vecteur normal à ce plan est :
Proposition a. $\vec{n} \left( – 1 ; 5 ; 4\right)$
Proposition b. $\vec{n} \left(3 ; – 1 ; 2\right)$
Proposition c. $\vec{n} \left(1 ; 2 ; 3\right)$
Proposition d. $\vec{n} \left(1 ; 1 ; – 1\right)$
Corrigé
Question 1 :
Proposition d. Les droites $\mathscr D$ et $\mathscr D ^{\prime}$ sont orthogonales.
Un \vecteur directeur de $\mathscr D$ est $\vec{u}\left(1 ; 2 ; 3\right)$; un \vecteur directeur de $\mathscr D ^{\prime}$ est $\vec{u}^{\prime}\left(1 ; 1 ; – 1\right)$;
$\vec{u}.\vec{u}^{\prime}=1\times 1+2\times 1+3\times \left( – 1\right)=0$
Les \vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{u}^{\prime}$ sont orthogonaux donc \les droites $\mathscr D$ et $\mathscr D ^{\prime}$ sont orthogonales.
Question 2 :
Proposition c. Le plan $\mathscr P$ contient la droite $\mathscr D$ et est orthogonal à la droite $\mathscr D ^{\prime}$.
Si $M\left(x ; y ; z\right) \in \mathscr D$, il existe un réel $t$ tel que $$\left\{ \begin{matrix} x=t+1 \\ y=2t – 1 \\ z=3t+2 \end{matrix}\right.$$
On a alors $x+y – z+2=t+1+\left(2t – 1\right) – \left(3t+2\right)+2=0$ donc $M\left(x ; y ; z\right) \in \mathscr P$.
Le plan $\mathscr P$ contient donc la droite $\mathscr D$.
$\vec{u}^{\prime}\left(1 ; 1 ; – 1\right)$ est un \vecteur directeur de $\mathscr D ^{\prime}$ et un \vecteur normal de $\mathscr P$ donc \le plan $\mathscr P$ est orthogonal à la droite $\mathscr D ^{\prime}$.
Question 3 :
Proposition c. Le triangle $ABC$ est équilatéral.
On a : $\overrightarrow{AB}\left(2 ; 4 ; 6\right)$ , $\overrightarrow{BC} \left( – 6 ; 2 ; – 4\right)$ , $\overrightarrow{AC}\left( – 4 ; 6 ; 2\right)$
$AB=\sqrt{2^{2}+ 4^{2}+ 6^{2}}=\sqrt{56}=2\sqrt{14}$
$BC=\sqrt{\left( – 6\right)^{2}+ 2^{2}+ \left( – 4\right)^{2}}=\sqrt{56}=2\sqrt{14}$
$AC=\sqrt{\left( – 4\right)^{2}+ 6^{2}+ \left(2\right)^{2}}=\sqrt{56}=2\sqrt{14}$
donc \le triangle $ABC$ est équilatéral.
Question 4 :
Proposition b. $\vec{n} \left(3 ; – 1 ; 2\right)$
Prenons un point quelconque de $\mathscr D ^{\prime}$ par exemple $E\left(1 ; 3 ; 4\right)$ (il correspond à $k=0$).
Le \vecteur $\overrightarrow{AE} \left(0, 4, 2\right)$ est un \vecteur du plan $\mathscr P ^{\prime}$.
$\vec{u}^{\prime}\left(1 ; 1 ; – 1\right)$ est un \vecteur directeur de $\mathscr D ^{\prime}$ donc lui aussi un \vecteur du plan $\mathscr P ^{\prime}$.
$\overrightarrow{AE}$ et $\vec{u}^{\prime}$ \ne sont pas colinéaires.
Pour $\vec{n} \left(3 ; – 1 ; 2\right)$:
$\overrightarrow{AE}.\vec{n}=0\times 3+4\times \left( – 1\right)+2\times 2=0$
$\vec{u}^{\prime}.\vec{n}=1\times 3+1\times \left( – 1\right)+\left( – 1\right)\times 2=0$
$\vec{n} \left(3 ; – 1 ; 2\right)$ est orthogonal à 2 \vecteurs non colinéaires de $\mathscr P ^{\prime}$ donc c’est un \vecteur normal à $\mathscr P ^{\prime}$.