Problème récapitulatif sur les suites

Partie A

1. $ u_{1}=\dfrac{2u_{0}}{u_{0}+1}=\dfrac{2\times \dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2}+1} =\dfrac{1}{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{2}{3} $
   
   $ u_{2}=\dfrac{2u_{1}}{u_{1}+1}=\dfrac{2\times \dfrac{2}{3}}{\dfrac{2}{3}+1} =\dfrac{\dfrac{4}{3}}{\dfrac{5}{3}}=\dfrac{4}{3}\times \dfrac{3}{5}=\dfrac{4}{5} $
2. La fonction $ f $ est dérivable sur l'intervalle $ ] - 1;+\infty [ $ et =
   
   $ f^{\prime}\left( x\right) =\dfrac{2\left( x+1\right) - 2x}{\left( x+1\right) ^{2}}=\dfrac{2}{\left( x+1\right) ^{2}} $.
   
   $ f^{\prime} $ est strictement positive sur l'intervalle $ ] - 1;+\infty [ $ donc $ f $ est strictement croissante sur son ensemble de définition.
3. 1. 
   2. La suite $ (u_n) $ semble croissante et convergente vers $ 1 $.

Partie B

1. 1. Initialisation.
      
      Montrons que $ \dfrac{ 1 }{ 2 } \leqslant u_0 \leqslant u_{1} \leqslant 1 $.
      $ u_0 = \dfrac{ 1 }{ 2 } $ et $ u_1 = \dfrac{ 4 }{ 5 } $.
      
      Comme $ \dfrac{ 1 }{ 2 } \leqslant \dfrac{ 1 }{ 2 } \leqslant \dfrac{ 4 }{ 5 } \leqslant 1 $, la propriété est vraie au rang 0.
      
      Hérédité.
      
      Supposons que la propriété $ \dfrac{ 1 }{ 2 } \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1 $ est vraie pour un certain entier naturel $ n $ et démontrons que la propriété est alors vraie au rang $ n+1 $.
      
      Si $ \dfrac{ 1 }{ 2 } \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1 $ , alors comme $ f $ est croissante sur $ ] - 1;+\infty [ $ :
      
      $ f\left( \dfrac{1}{2}\right) \leqslant f(u_n) \leqslant f(u_{n+1}) \leqslant f(1) $
      
      Or $ f\left( \dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{ 4 }{ 5 } $ , $ f(u_n)=u_{n+1} $ , $ f(u_{n+1} ) = u_{n+2} $ et $ f(1)=1 $ donc :
      
      $ \dfrac{4}{5} \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 1 $
      
      et comme $ \dfrac{1}{2} \leqslant \dfrac{4}{5} $ :
      
      $ \dfrac{1}{2} \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 1 $
      
      donc la propriété est vraie au rang $ n+1 $.
      
      Conclusion.
      
      La propriété $ \dfrac{ 1 }{ 2 } \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1 $ est vraie au rang $ 0 $ et est héréditaire ; par conséquent, elle est vraie pour tout entier naturel $ n $.
   2. D'après la question précédente, la suite $ (u_n) $ est croissante et majorée par $ 1 $, donc est convergente (voir: Théorème de convergence monotone).
2. 1. Pour montrer que la suite $ (v_n) $ est une suite géométrique on va montrer qu'il existe une constante $ q $ telle que, pour tout entier naturel $ n $, $ v_{n+1} = v_n \times q $.
      
      $ \begin{aligned}v_{n+1}&=\dfrac{1}{u_{n+1}} - 1\\ \\ &=\dfrac{1}{\dfrac{2u_{n}}{u_{n}+1}} - 1\\ \\ &=\dfrac{u_{n}+1}{2u_{n}} - 1\\ \\ &=\dfrac{u_{n}+1 - 2u_{n}}{2u_{n}}\\ \\ &=\dfrac{1 - u_{n}}{2u_{n}}\\ \\ &=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1 - u_{n}}{u_{n}}\right) \\ \\ &=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{u _{n}} - \dfrac{u _{n}}{u _{n}}\right) \\ \\ &=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{u_{n}} - 1\right) \\ \\ &=\dfrac{1}{2}v_{n}\end{aligned} $
      
      donc la suite $ (v_n) $ est une suite géométrique de raison $ q= \dfrac{ 1 }{ 2 } $.
      Son premier terme est $ v_0= \dfrac{ 1 }{ u_0 } - 1 = 2 - 1 = 1 $.
   2. On en déduit que, pour tout entier naturel $ n $ :
      $ v_n = v_0q^n= \left( \dfrac{ 1 }{ 2 } \right)^n = \dfrac{ 1 }{ 2^n } $.
      
      De la relation $ v_n= \dfrac{ 1 }{ u_n } - 1 $ on déduit :
      
      $ \dfrac{ 1 }{ u_n } = v_n + 1 $
      $ u_n = \dfrac{ 1 }{ v_n + 1 } $
      
      donc :
      $ \begin{aligned} u_n&=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2^{n}}+1}\\ \\ u_n&=\dfrac{1}{\dfrac{1+2^{n}}{2^{n}}}\\ \\ u_n&=\dfrac{2^{n}}{1+2^n}\end{aligned} $
   3. Comme $ - 1 < \dfrac{ 1 }{ 2 } < 1 $ :
      $ \lim _{n\rightarrow +\infty }v_{n}=\lim _{n\rightarrow +\infty }\left( \dfrac{1}{2}\right) ^{n}=0 $ (voir : Limite d'une suite géométrique).
      
      Comme $ u_n = \dfrac{ 1 }{ v_n + 1 } $ on en déduit (par somme et par quotient) que la suite $ (u_n) $ converge vers $ \dfrac{ 1 }{ 0+1 } = 1 $.

Partie C

1. Soit $ a>0 $.
   D'après la définition de la limite, dire que la suite $ (u_n) $ converge vers 1 signifie qu'il existe un entier naturel $ p $ à partir duquel :
   $ - a < u_n - 1 < a $ pour tout entier naturel $ n \geqslant p $.
   
   Or, l'inégalité $ - a < u_n - 1 $ est équivalente à $ 1 - u_n < a $.

2. def rang(a) :
      u = 1/2
      n = 0
      while 1-u >= a
         u = 2*u/(u+1)
         n = n+1
      return n