Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur l’intervalle $\left[1;5\right]$
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Calculer $p\left(X < 2\right)$, $p\left(2\leqslant X\leqslant 4\right)$, $p\left(X > 3\right)$.
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Quelle est l’espérance mathématique de $X$ ?
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Quelle est la probabilité que $X$ soit supérieur à $3$ sachant que $X$ est supérieur à $2$.
Corrigé
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$p\left(X < 2\right)=p\left(1 < X < 2\right)=\dfrac{2 - 1}{5 - 1}=\dfrac{1}{4}$
$p\left(2\leqslant X\leqslant 4\right)=\dfrac{4 – 2}{5 – 1}=\dfrac{1}{2}$
$p\left(X > 3\right)=p\left(3 < X < 5\right)=\dfrac{5 - 3}{5 - 1}=\dfrac{1}{2}$
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$E\left(X\right)=\dfrac{1+5}{2}=3$
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La probabilité cherchée est :
$p_{X > 2}\left(X > 3\right)=\dfrac{p\left(\left(X > 2\right) \cap \left(X > 3\right)\right)}{p\left(X > 2\right)}$
Si $X$est supérieur à $3$, il est obligatoirement supérieur à $2$ donc $\left(X > 2\right) \cap \left(X > 3\right) = \left(X > 3\right)$
$p_{X > 2}\left(X > 3\right)=\dfrac{p\left(X > 3\right)}{p\left(X > 2\right)}$
$p\left(X > 3\right)=p\left(3 < X < 5\right)=\dfrac{5 - 3}{5 - 1}=\dfrac{1}{2}$ et $p\left(X > 2\right)=p\left(2 < X < 5\right)=\dfrac{5 - 2}{5 - 1}=\dfrac{3}{4}$
Par conséquent :
$p_{X > 2}\left(X > 3\right)=\dfrac{1/2}{3/4}=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{4}{3}=\dfrac{2}{3}$