[Bac] Probabilités : Loi exponentielle
[ d'après Bac ] Un magasin vend des moteurs électriques tous identiques. Une étude statistique du service après-vente a permis d'établir que la probabilité qu'un moteur tombe en panne pendant la première année d'utilisation est égale à $0,12$. On admet que la durée de vie sans panne, exprimée en années, de chaque moteur est une variable aléatoire $Y$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda $, où $\lambda $ est un réel strictement positif. On rappelle que pour tout réel positif $t$ : $p\left(Y\leqslant t\right)=\int_{0}^{t} \lambda e^{- \lambda x}dx$. Dans les questions 1, 2, 3, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près.
- Exprimer $p\left(Y\leqslant 1\right)$ en fonction de $\lambda $. En déduire la valeur de $\lambda $. Pour la suite de l'exercice, on prendra $\lambda =0,128$ .
- Quelle est la probabilité qu'un moteur dure plus de 3 ans ?
- Quelle est la probabilité qu'un moteur dure plus de 4 ans sachant qu'il a duré plus d'un an ?
On admet que la durée de vie moyenne $d_{m}$ de ces moteurs est égale à $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty } F\left(t\right)$ où $F$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left[0 ;+\infty \right[$ par $F\left(t\right)=\int_{0}^{t} \lambda xe^{- \lambda x}dx$.
- Montrer que la fonction $\Phi $ définie par $\Phi \left(t\right)=-te^{- \lambda t}-\dfrac{1}{\lambda }e^{- \lambda t}$ est une primitive de la fonction $x\mapsto \lambda xe^{- \lambda x}$.
- En déduire $F\left(t\right)$ en fonction de $t$.
- Donner la valeur exacte de $d_{m}$ puis la valeur arrondie à $10^{-1}$ près.
Corrigé
- $p\left(Y\leqslant 1\right)=\int_{0}^{1} \lambda e^{- \lambda x}dx=\left[- e^{- \lambda x}\right]_{0}^{1}=-e^{- \lambda }+1$ La probabilité qu'un moteur tombe en panne pendant la première année d'utilisation est égale à $0,12$ donc : $1-e^{- \lambda }=0,12$ c'est à dire : $e^{-\lambda}=0,88$ $-\lambda =\ln 0,88$ $\lambda =-\ln 0,88$ $\lambda \approx 0,128$ à $10^{-3}$ près.
- L'évènement "un moteur dure plus de 3 ans" est l'évènement contraire de "[i]un moteur tombe en panne dans les 3 ans_". $p\left(Y > 3\right)=1-p\left(Y\leqslant 3\right)=1-\int_{0}^{3} 0,128\text{e}^{- 0,128 x}dx=1-\left[-e^{- 0,128 x}\right]_{0}^{3}$ $p\left(Y > 3\right)=1-\left(-e^{- 0,128 \times 3}+1\right)=e^{- 0,384} \approx 0,681$ à $10^{-3}$ près.
- La loi exponentielle étant sans vieillissement : $p_{Y > 1}\left(Y > 4\right)=p\left(Y > 3\right)\approx 0,681$ à $10^{-3}$ près.
- $\Phi ^{\prime}\left(t\right)=-e^{- \lambda t}-t\times \left(-\lambda e^{-\lambda t}\right)-\dfrac{1}{\lambda }\times \left(-\lambda \right)e^{-\lambda t}=\lambda t e^{-\lambda t}$ donc $\Phi $ est une primitive de la fonction $x\mapsto \lambda xe^{- \lambda x}$.
- $F\left(t\right)=\int_{0}^{t} \lambda xe^{- \lambda x}dx=\left[\Phi \left(x\right)\right]_{0}^{t}=\Phi \left(t\right)-\Phi \left(0\right)=-te^{- \lambda t}-\dfrac{1}{\lambda }e^{- \lambda t}+\dfrac{1}{\lambda }$
- En posant $T=- \lambda t$ : $\lim\limits_{t \rightarrow +\infty }-te^{-\lambda t}=\lim\limits_{T \rightarrow -\infty } \dfrac{1}{\lambda} \times Te^{T}=0$ (par croissance comparée) Comme de plus, $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty }e^{- \lambda t}=0$ on en déduit (par somme) : $d_{m}=\lim\limits_{t\rightarrow +\infty }-te^{- \lambda t}-\dfrac{1}{\lambda }e^{- \lambda t}+\dfrac{1}{\lambda }=\dfrac{1}{\lambda }$ $d_{m}\approx 7,8$ années à $10^{-1}$ près.