Exercice 3 – 5 points
Commun à tous les candidats
Un téléphone portable contient en mémoire 3200 chansons archivées par catégories : rock, techno, rap, reggae … dont certaines sont interprétées en français.
Parmi toutes les chansons enregistrées, 960 sont classées dans la catégorie rock.
Une des fonctionnalités du téléphone permet d’écouter de la musique en mode « lecture aléatoire » : les chansons écoutées sont choisies au hasard et de façon équiprobable parmi l’ensemble du répertoire.
Au cours de son footing hebdomadaire, le propriétaire du téléphone écoute une chanson grâce à ce mode de lecture.
On note:
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$R$ l’évènement : « la chanson écoutée est une chanson de la catégorie rock »
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$F$ l’évènement : « la chanson écoutée est interprétée en français »
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A
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Calculer $p(R)$, la probabilité de l’évènement $R$.
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35 % des chansons de la catégorie rock sont interprétées en français; traduire cette donnée en utilisant les évènements $R$ et $F$.
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Calculer la probabilité que la chanson écoutée soit une chanson de la catégorie rock et qu’elle soit interprétée en français.
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Parmi toutes les chansons enregistrées 38,5 % sont interprétées en français.
Montrer que $p\left(F \cap \overline R\right) = 0,28$.
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En déduire $p_{\overline R}(F)$ et exprimer par une phrase ce que signifie ce résultat.
Partie B
Les résultats de cette partie seront arrondis au millième.
Le propriétaire du téléphone écoute régulièrement de la musique à l’aide de son téléphone portable.
On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à chaque écoute de musique, associe la durée (en minutes) correspondante; on admet que $X$ suit la loi normale d’espérance $\mu=30$ et d’écart-type $\sigma=10$.
Le propriétaire écoute de la musique.
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Quelle est la probabilité que la durée de cette écoute soit comprise entre 15 et 45 minutes?
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Quelle est la probabilité que cette écoute dure plus d’une heure?