Probabilités – Bac ES/L Métropole Réunion 2016
Exercice 3 - 5 points
Commun à tous les candidats
Un téléphone portable contient en mémoire 3200 chansons archivées par catégories : rock, techno, rap, reggae ... dont certaines sont interprétées en français.
Parmi toutes les chansons enregistrées, 960 sont classées dans la catégorie rock.
Une des fonctionnalités du téléphone permet d'écouter de la musique en mode « lecture aléatoire » : les chansons écoutées sont choisies au hasard et de façon équiprobable parmi l'ensemble du répertoire.
Au cours de son footing hebdomadaire, le propriétaire du téléphone écoute une chanson grâce à ce mode de lecture.
On note:
- $ R $ l'évènement : « la chanson écoutée est une chanson de la catégorie rock »
- $ F $ l'évènement : « la chanson écoutée est interprétée en français »
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A
- Calculer $ p(R) $, la probabilité de l'évènement $ R $.
- 35 % des chansons de la catégorie rock sont interprétées en français; traduire cette donnée en utilisant les évènements $ R $ et $ F $.
- Calculer la probabilité que la chanson écoutée soit une chanson de la catégorie rock et qu'elle soit interprétée en français.
Parmi toutes les chansons enregistrées 38,5 % sont interprétées en français.
Montrer que $ p\left(F \cap \overline R\right) = 0,28 $.
- En déduire $ p_{\overline R}(F) $ et exprimer par une phrase ce que signifie ce résultat.
Partie B
Les résultats de cette partie seront arrondis au millième. Le propriétaire du téléphone écoute régulièrement de la musique à l'aide de son téléphone portable.
On appelle $ X $ la variable aléatoire qui, à chaque écoute de musique, associe la durée (en minutes) correspondante; on admet que $ X $ suit la loi normale d'espérance $ \mu=30 $ et d'écart-type $ \sigma=10 $.
Le propriétaire écoute de la musique.
- Quelle est la probabilité que la durée de cette écoute soit comprise entre 15 et 45 minutes?
- Quelle est la probabilité que cette écoute dure plus d'une heure?
Corrigé
Partie A
On est dans une situation d'équiprobabilité.
Il y a 960 chansons de catégorie rock sur un total de 3200 chansons.$ p(R) = \dfrac{960}{3200} = 0,3 $L'énoncé indique que 35 % des chansons de la catégorie rock sont interprétées en français.
Il s'agit d'une probabilité conditionnelle : la probabilité que la chanson soit en français sachant qu'elle est de catégorie rock est 0,35.$ p_R(F) = 0,35 $On cherche $ p(R \cap F) $.
D'après la formule des probabilités conditionnelles :
$ p(R \cap F) = p(R) \times p_R(F) $
$ p(R \cap F) = 0,3 \times 0,35 $$ p(R \cap F) = 0,105 $On sait que 38,5 % de toutes les chansons sont en français, donc $ p(F) = 0,385 $.
Les évènements $ R $ et $ \overline{R} $ forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales :
$ p(F) = p(R \cap F) + p(\overline{R} \cap F) $
Soit :
$ 0,385 = 0,105 + p(F \cap \overline{R}) $
$ p(F \cap \overline{R}) = 0,385 - 0,105 $$ p(F \cap \overline{R}) = 0,28 $On cherche $ p_{\overline{R}}(F) $.
Par définition :
$ p_{\overline{R}}(F) = \dfrac{p(F \cap \overline{R})}{p(\overline{R})} $
On a $ p(\overline{R}) = 1 - p(R) = 1 - 0,3 = 0,7 $.
$ p_{\overline{R}}(F) = \dfrac{0,28}{0,7} $$ p_{\overline{R}}(F) = 0,4 $Cela signifie que parmi les chansons qui ne sont pas de la catégorie rock, 40 % sont interprétées en français.
Partie B
$ X $ suit la loi normale d'espérance $ \mu=30 $ et d'écart-type $ \sigma=10 $.
On cherche $ p(15 \le X \le 45) $.
À l'aide de la calculatrice, on trouve :$ p(15 \le X \le 45) \approx 0,866 $Note : On peut remarquer que l'intervalle $[15 ; 45]$ correspond à $[\mu - 1,5\sigma ; \mu + 1,5\sigma]$.
On cherche la probabilité que l'écoute dure plus d'une heure, soit 60 minutes.
On cherche donc $ p(X > 60) $.
$ 60 = 30 + 3 \times 10 = \mu + 3\sigma $.
D'après le cours, $ p(\mu - 3\sigma \le X \le \mu + 3\sigma) \approx 0,997 $.
Donc $ p(X > \mu + 3\sigma) \approx \dfrac{1 - 0,997}{2} \approx 0,0015 $.
À la calculatrice, avec une précision plus fine :$ p(X > 60) \approx 0,001 $