Probabilités – Bac ES/L Centres étrangers 2013
Exercice 2 (5 points)
Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Une association de consommateurs a fait une enquête sur des ventes de sacs de pommes.
On sait que :
- 15% des sacs sont vendus directement dans l'exploitation agricole et le reste est vendu dans des supermarchés.
- Parmi les sacs vendus directement dans l'exploitation agricole, 80% contiennent des pommes de variétés différentes et les autres ne contiennent qu'un seul type de pommes.
- Parmi les sacs vendus dans des supermarchés, 10% contiennent des pommes de variétés différentes et les autres ne contiennent qu'un seul type de pommes
On désigne par E l'évènement "les sacs de pommes sont vendus sur l'exploitation " et par V l'évènement "les sacs contiennent des pommes de variétés différentes".
L'évènement contraire de l'évènement A sera noté $ \overline{A} $.
On achète de façon aléatoire un sac de pommes.
- Traduire les trois données de l'énoncé en termes de probabilités.
- Construire un arbre pondéré traduisant cette situation.
- Définir par une phrase l'évènement $ E \cap V $ puis calculer sa probabilité.
- Montrer que la probabilité que le sac acheté contienne des pommes de variétés différentes est égale à $ 0,205 $.
Le sac acheté contient des pommes d'une seule variété.
Calculer la probabilité qu'il ait été acheté directement sur l'exploitation agricole, arrondir le résultat à 0,001 près.
Des producteurs, interrogés lors de l'enquête, disposent ensemble de 45 000 sacs. Chaque sac, qu'il contienne un seul type de pommes ou des pommes de variétés différentes, est vendu 0,80 euro sur l'exploitation agricole et 3,40 euros dans des supermarchés.
Calculer le montant total des ventes qu'ils peuvent prévoir.
Corrigé
Traduction des données de l'énoncé :
"15% des sacs sont vendus directement dans l'exploitation agricole" se traduit par :
$ P(E) = 0,15 $"Parmi les sacs vendus directement dans l'exploitation agricole, 80% contiennent des pommes de variétés différentes" se traduit par :
$ P_E(V) = 0,8 $"Parmi les sacs vendus dans des supermarchés, 10% contiennent des pommes de variétés différentes" se traduit par :
$ P_{\overline{E}}(V) = 0,1 $
Arbre pondéré représentant la situation :
L'évènement $ E \cap V $ est défini par la phrase : "Le sac de pommes a été acheté directement sur l'exploitation agricole ET il contient des pommes de variétés différentes".
Sa probabilité est :
$ P(E \cap V) = P(E) \times P_E(V) = 0,15 \times 0,8 = 0,12 $D'après la formule des probabilités totales :
$ P(V) = P(E \cap V) + P(\overline{E} \cap V) $On calcule $ P(\overline{E} \cap V) $ :
$ P(\overline{E} \cap V) = P(\overline{E}) \times P_{\overline{E}}(V) = 0,85 \times 0,1 = 0,085 $Donc :
$ P(V) = 0,12 + 0,085 = 0,205 $"Le sac acheté contient des pommes d'une seule variété" est l'évènement $ \overline{V} $.
On cherche la probabilité conditionnelle $ P_{\overline{V}}(E) $ :
$ P_{\overline{V}}(E) = \dfrac{P(E \cap \overline{V})}{P(\overline{V})} $- $ P(E \cap \overline{V}) = P(E) \times P_E(\overline{V}) = 0,15 \times 0,2 = 0,03 $
- $ P(\overline{V}) = 1 - P(V) = 1 - 0,205 = 0,795 $
D'où :
$ P_{\overline{V}}(E) = \dfrac{0,03}{0,795} \approx 0,038 $Calcul des ventes prévues :
- Nombre de sacs vendus sur l'exploitation :
$ 45\,000 \times 0,15 = 6\,750 $ - Montant des ventes sur l'exploitation :
$ 6\,750 \times 0,80 = 5\,400 $ euros - Nombre de sacs vendus en supermarchés :
$ 45\,000 \times 0,85 = 38\,250 $ - Montant des ventes en supermarchés :
$ 38\,250 \times 3,40 = 130\,050 $ euros
Montant total des ventes :
$ 5\,400 + 130\,050 = 135\,450 $ euros- Nombre de sacs vendus sur l'exploitation :