Exercice 3 (4 points)
Un cinéma de trois salles propose le choix entre les films A, B ou C. Suivant leur âge, les spectateurs payent leur place plein tarif ou bénéficient d’un tarif réduit.
Le directeur de la salle a constaté que :
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30% des spectateurs bénéficient du tarif réduit (les 70% restant payant plein tarif) ;
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45% des spectateurs payant plein tarif et 40% des spectateurs bénéficiant du tarif réduit ont été voir le film A ;
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30% des spectateurs payant plein tarif et 37% des spectateurs bénéficiant du tarif réduit ont été voir le film B ;
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25% des spectateurs payant plein tarif et 23% des spectateurs bénéficiant du tarif réduit ont été voir le film C.
On choisit au hasard un spectateur à la sortie du cinéma. On note :
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$R$ : l’événement « le spectateur bénéficie du tarif réduit » ;
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$A$ : l’événement « le spectateur a été voir le film A » ;
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$B$ : l’événement « le spectateur a été voir le film B » ;
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$C$ : l’événement « le spectateur a été voir le film C ».
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Représenter la situation à l’aide d’un arbre pondéré.
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Montrer que la probabilité que le spectateur choisi vienne d’aller voir le film A est égale à $0,435$.
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On sait que le spectateur vient de voir le film A. Quelle est la probabilité qu’il bénéficie du tarif réduit ?
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On choisit maintenant au hasard et de façon indépendante, trois spectateurs. On suppose que ces choix peuvent être assimilés à des tirages successifs avec remise.
On note $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de ces spectateurs qui viennent de voir le film A.
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Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$ ? Préciser ses paramètres.
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Calculer la probabilité $p(X \geqslant 1)$. Interpréter cette probabilité dans le cadre de l’énoncé.
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Corrigé
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La situation peut être modélisée par l’arbre pondéré ci-après :
À retenir
Le total des probabilités figurant sur l’ensemble des branches partant d’un même nœud est toujours égal à 1.
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La probabilité que le spectateur ait été voir le film A est $p(A)$.
D’après la formule des probabilités totales :
$p(A)=p(A\cap R)+p(A\cap \overline{R})$
$\phantom{p(A)}=p(R) \times p_R(A)+ p({\overline{R}}) \times p_{\overline{R}}(A)$
$\phantom{p(A)}=0,3 \times 0,4 + 0,7 \times 0,45 = 0,435.$À retenir
Formule des probabilités totales :
Si les événements $B_1, B_2, \cdots , B_n$ forment une partition de l’univers (c’est à dire regroupent toutes les éventualités) alors, pour tout événement $A$ :
$p(A)= p(A\cap B_1)+p(A\cap B_2)$$+\cdots+p(A\cap B_n).$
Un cas particulier très fréquent, dû au fait que $B$ et $\overline{B}$ forment une partition de l’univers, donne :
$p(A)= p(A\cap B)+p(A\cap \overline{B}).$
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La probabilité demandée est $p_A(R)$.
En pratique
Très souvent, en probabilités, la première étape consiste à traduire la probabilité cherchée en utilisant les notations de l’énoncé.
Dans le cas présent, on sait que l’événement $A$ est vérifié et on souhaite déterminer la probabilité de l’événement $R$. On recherche donc $p_A(R)$.
Attention
Ne pas confondre :
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$p(A\cap R)$ : probabilité que $A$ et $R$ se réalisent (alors que l’on n’a, a priori, aucune information concernant la réalisation de $A$ ou de $R$) ;
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$p_A(R)$ : probabilité que $R$ se réalise alors que l’on sait que $A$ est réalisé.
D’après la formule des probabilités conditionnelles :
$p_A(R)=\dfrac{p(A\cap R)}{p(A)}=\dfrac{0,3 \times 0,4}{0,435}$$=\dfrac{0,12}{0,435} \approx 0,276\$ (à $10^{ – 3}$ près).
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La variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètres ${n=3}$ et ${p=0,435}$.
En effet :
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on assimile l’expérience aux tirages successifs et avec remise de 3 spectateurs ;
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pour chaque spectateur, deux issues sont possibles :
– succès : le spectateur vient d’aller voir le film A (probabilité $p=0,435$) ;
– échec : le spectateur ne vient pas d’aller voir le film A. -
la variable aléatoire $X$ comptabilise le nombre de succès.
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L’événement contraire de $(X \geqslant 1)$ est $(X<1)$ c'est à dire $(X=0)$.
Attention
L’événement contraire de ($X \geqslant a$) est ($X < a$) et non ($X \leqslant a$).
Comme $X$ suit une loi binomiale :
$$p(X=0)=\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} \times 0,435^0 \times 0,565^{3}$$$= 0,565^{3}$.
Par conséquent :
$p(X \geqslant 1)=1 – p(X=0)$$=1 – 0,565^{3} \approx 0,820\$ (à $10^{ – 3}$ près).
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