Probabilités – Bac blanc ES/L Sujet 2 – Maths-cours 2018
Exercice 3 (4 points)
Un cinéma de trois salles propose le choix entre les films A, B ou C. Suivant leur âge, les spectateurs payent leur place plein tarif ou bénéficient d'un tarif réduit.
Le directeur de la salle a constaté que :
- 30% des spectateurs bénéficient du tarif réduit (les 70% restant payant plein tarif) ;
- 45% des spectateurs payant plein tarif et 40% des spectateurs bénéficiant du tarif réduit ont été voir le film A ;
- 30% des spectateurs payant plein tarif et 37% des spectateurs bénéficiant du tarif réduit ont été voir le film B ;
- 25% des spectateurs payant plein tarif et 23% des spectateurs bénéficiant du tarif réduit ont été voir le film C.
On choisit au hasard un spectateur à la sortie du cinéma. On note :
- $ R $ : l'événement « le spectateur bénéficie du tarif réduit » ;
- $ A $ : l'événement « le spectateur a été voir le film A » ;
- $ B $ : l'événement « le spectateur a été voir le film B » ;
- $ C $ : l'événement « le spectateur a été voir le film C ».
- Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré.
- Montrer que la probabilité que le spectateur choisi vienne d'aller voir le film A est égale à $ 0,435 $.
- On sait que le spectateur vient de voir le film A. Quelle est la probabilité qu'il bénéficie du tarif réduit ?
On choisit maintenant au hasard et de façon indépendante, trois spectateurs. On suppose que ces choix peuvent être assimilés à des tirages successifs avec remise.
On note $ X $ la variable aléatoire correspondant au nombre de ces spectateurs qui viennent de voir le film A.
- Quelle est la loi de probabilité suivie par $ X $ ? Préciser ses paramètres.
- Calculer la probabilité $ p(X \geqslant 1) $. Interpréter cette probabilité dans le cadre de l'énoncé.
Corrigé
La situation peut être modélisée par l'arbre pondéré ci-après :
À retenir
Le total des probabilités figurant sur l'ensemble des branches partant d'un même nœud est toujours égal à 1.
La probabilité que le spectateur ait été voir le film A est $ p(A) $.
D'après la formule des probabilités totales :
$ p(A)=p(A\cap R)+p(A\cap \overline{R}) $
$ \phantom{p(A)}=p(R) \times p_R(A)+ p({\overline{R}}) \times p_{\overline{R}}(A) $
$ \phantom{p(A)}=0,3 \times 0,4 + 0,7 \times 0,45 = 0,435. $Théorème
À retenir
Formule des probabilités totales :
Si les événements $ B_1, B_2, \cdots , B_n $ forment une partition de l'univers (c'est à dire regroupent toutes les éventualités) alors, pour tout événement $ A $ :
$ p(A)= p(A\cap B_1)+p(A\cap B_2) $$ +\cdots+p(A\cap B_n). $Un cas particulier très fréquent, dû au fait que $ B $ et $ \overline{B} $ forment une partition de l'univers, donne :
$ p(A)= p(A\cap B)+p(A\cap \overline{B}). $La probabilité demandée est $ p_A(R) $.
Propriété
En pratique
Très souvent, en probabilités, la première étape consiste à traduire la probabilité cherchée en utilisant les notations de l'énoncé.
Dans le cas présent, on sait que l'événement $ A $ est vérifié et on souhaite déterminer la probabilité de l'événement $ R $. On recherche donc $ p_A(R) $.
Théorème
Attention
Ne pas confondre :
- $ p(A\cap R) $ : probabilité que $ A $ et $ R $ se réalisent (alors que l'on n'a, a priori, aucune information concernant la réalisation de $ A $ ou de $ R $) ;
- $ p_A(R) $ : probabilité que $ R $ se réalise alors que l'on sait que $ A $ est réalisé.
D'après la formule des probabilités conditionnelles :
$ p_A(R)=\dfrac{p(A\cap R)}{p(A)}=\dfrac{0,3 \times 0,4}{0,435} =\dfrac{0,12}{0,435} \approx 0,276\ $ (à $ 10^{ - 3} $ près).
La variable aléatoire $ X $ suit une loi binomiale de paramètres $ {n=3} $ et $ {p=0,435} $.
En effet :
- on assimile l'expérience aux tirages successifs et avec remise de 3 spectateurs ;
- pour chaque spectateur, deux issues sont possibles :
- succès : le spectateur vient d'aller voir le film A (probabilité $ p=0,435 $) ;
- échec : le spectateur ne vient pas d'aller voir le film A.
- la variable aléatoire $ X $ comptabilise le nombre de succès.
L'événement contraire de $ (X \geqslant 1) $ est $ (X<1) $ c'est à dire $ (X=0) $.
Théorème
Attention
L'événement contraire de ($ X \geqslant a $) est ($ X < a $) et non ($ X \leqslant a $).
Comme $ X $ suit une loi binomiale :
$ p(X=0)=\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} \times 0,435^0 \times 0,565^{3} = 0,565^{3} $.
Par conséquent :
$ p(X \geqslant 1)=1 - p(X=0) =1 - 0,565^{3} \approx 0,820\ $ (à $ 10^{ - 3} $ près).