On considère la fonction $f$ définie sur $\left]1 ; +\infty \right[$ par :
$f\left(x\right)=\dfrac{x^{3} – x^{2} – x+3}{\left(x – 1\right)^{2}}$
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Déterminer les réels $a$, $b$, $c$ tels que :
$f\left(x\right)=ax+b+\dfrac{c}{\left(x – 1\right)^{2}}$
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En déduire l’ensemble des primitives de la fonction $f$.
Corrigé
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$ax+b+\dfrac{c}{\left(x – 1\right)^{2}}=\dfrac{\left(ax+b\right)\left(x – 1\right)^{2}+c}{\left(x – 1\right)^{2}}=\dfrac{\left(ax+b\right)\left(x^{2} – 2x+1\right)+c}{\left(x – 1\right)^{2}}$
$ax+b+\dfrac{c}{\left(x – 1\right)^{2}}=\dfrac{ax^{3} – 2ax^{2}+ax+bx^{2} – 2bx+b+c}{\left(x – 1\right)^{2}}$
$ax+b+\dfrac{c}{\left(x – 1\right)^{2}}=\dfrac{ax^{3}+\left(b – 2a\right)x^{2}+\left(a – 2b\right)x+\left(b+c\right)}{\left(x – 1\right)^{2}}$
En identifiant les coefficients du polynôme au numérateur on obtient :
♦ $a=1$
♦ $b – 2a= – 1$
♦ $a – 2b= – 1$
♦ $b+c=3$
c’est à dire $a=1, b=1, c=2$.
Par conséquent :
$f\left(x\right)=x+1+\dfrac{2}{\left(x – 1\right)^{2}}$
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$x\mapsto \dfrac{1}{\left(x – 1\right)^{2}}$ est de la forme $x\mapsto \dfrac{u^{\prime}\left(x\right)}{u\left(x\right)^{2}}$ dont une primitive est : $x\mapsto – \dfrac{1}{u\left(x\right)}$
Les primitives de $f$ sur $\left]1 ; +\infty \right[$ sont donc les fonctions $F$ définies par :
$F\left(x\right)=\dfrac{x^{2}}{2}+x – \dfrac{2}{x – 1}+k$ où $k \in \mathbb{R}$