Soit $f$ la fonction définie sur $I=\left]3;+\infty \right[$ par :
$f\left(x\right)=\dfrac{x^{2} – 6x+8}{\left(x – 3\right)^{2}}$
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Etudier le signe de $f$ sur $I$.
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Montrer que pour tout $x \in I$ :
$f\left(x\right)=1 – \dfrac{1}{\left(x – 3\right)^{2}}$
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En déduire une primitive de $f$ sur $I$.
Corrigé
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Le dénominateur de $f\left(x\right)$ est toujours strictement positif sur I.
$f\left(x\right)$ est donc du signe du numérateur qui est un trinôme du second degré dont les racines sont 2 et 4 (calculez $\Delta$…)
Le tableau de signe de $f$ est :
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$1 – \dfrac{1}{\left(x – 3\right)^{2}}=\dfrac{\left(x – 3\right)^{2} – 1}{\left(x – 3\right)^{2}}=\dfrac{x^{2} – 6x+9 – 1}{\left(x – 3\right)^{2}}=\dfrac{x^{2} – 6x+8}{\left(x – 3\right)^{2}}$
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$- \dfrac{1}{\left(x – 3\right)^{2}}$ est de la forme $- \dfrac{u^{\prime}\left(x\right)}{u\left(x\right)^{2}}$ avec $u\left(x\right)=x – 3$. Une primitive $F$ de $f$ est donc :
$F\left(x\right)=x+\dfrac{1}{x – 3}$
(Toutes les primitives de $f$ sont de la forme $F\left(x\right)=x+\dfrac{1}{x – 3}+C$ avec $C\in \mathbb{R}$)