Nombre de solutions d’une équation trigonométrique

Soit $\alpha$ un réel tel que $\cos \alpha = \alpha$.

Comme pour tout réel $x$, $- 1 \leqslant \cos x \leqslant 1$ on en déduit que $- 1 \leqslant \alpha \leqslant 1$.

Comme, par ailleurs, la fonction cosinus est positive ou nulle sur l’intervalle $\left[ – \dfrac{\pi }{2} ; \dfrac{\pi }{2}\right]$, elle est positive sur l’intervalle $\left[ – 1 ; 1\right]$ qui est inclus dans $\left[ – \dfrac{\pi }{2} ; \dfrac{\pi }{2}\right]$. Par conséquent $\cos \alpha$ donc $\alpha$ est positif.

Finalement, $\alpha \in \left[0 ; 1\right]$

$f^{\prime}\left(x\right) = – \sin x – 1$

Sur l’intervalle $\left[0; \pi \right[$ (donc sur l’intervalle $\left[0 ; 1\right]$ qui est inclus dans $\left[0; \pi\right[$, $\sin x > – 1$ donc $f^{\prime}\left(x\right) < 0$.

$f$ est donc strictement décroissante sur l’intervalle $\left[0 ; 1\right]$

$\cos x = x \Leftrightarrow f\left(x\right) = 0$

$f$ est une fonction continue sur $\left[0 ; 1\right]$ comme différence de deux fonctions continues.

$f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.

$0$ est compris entre $f\left(1\right)=\cos\left(1\right) – 1\approx – 0,46$ et $f\left(0\right)=1$.

Donc, d’après le corolaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\left[0; 1\right]$.

D’après la question 1., cette solution est la seule solution sur $\mathbb{R}$.

A la calculatrice on vérifie que $f\left(0,73\right) > 0$ et $f\left(0,74\right) < 0$

Donc $0,73 < \alpha < 0,74$