Nombre de solutions d’une équation trigonométrique
Cet exercice nécessite d'avoir étudié les chapitres « Continuité » et «Fonctions trigonométriques»
On considère l'équation :
- Montrer que les éventuelles solutions de cette équation appartiennent à l'intervalle $ \left[0 ; 1\right] $.
Étudier le sens de variation de la fonction $ f $ définie sur $ \left[0 ; 1\right] $ par :
$ f\left(x\right) = \cos x - x $- En déduire que l'équation $ \cos x = x $ admet une unique solution sur $ \mathbb{R} $.
A l'aide de la calculatrice, donner un encadrement, à $ 10^{ - 2} $ près, de cette solution.
Corrigé
- Soit $ \alpha $ un réel tel que $ \cos \alpha = \alpha $.
Comme pour tout réel $ x $, $ - 1 \leqslant \cos x \leqslant 1 $ on en déduit que $ - 1 \leqslant \alpha \leqslant 1 $.
Comme, par ailleurs, la fonction cosinus est positive ou nulle sur l'intervalle $ \left[ - \dfrac{\pi }{2} ; \dfrac{\pi }{2}\right] $, elle est positive sur l'intervalle $ \left[ - 1 ; 1\right] $ qui est inclus dans $ \left[ - \dfrac{\pi }{2} ; \dfrac{\pi }{2}\right] $. Par conséquent $ \cos \alpha $ donc $ \alpha $ est positif.
Finalement, $ \alpha \in \left[0 ; 1\right] $ - $ f^{\prime}\left(x\right) = - \sin x - 1 $
Sur l'intervalle $ \left[0; \pi \right[ $ (donc sur l'intervalle $ \left[0 ; 1\right] $ qui est inclus dans $ \left[0; \pi\right[ $, $ \sin x > - 1 $ donc $ f^{\prime}\left(x\right) < 0 $.
$ f $ est donc strictement décroissante sur l'intervalle $ \left[0 ; 1\right] $ $ \cos x = x \Leftrightarrow f\left(x\right) = 0 $
$ f $ est une fonction continue sur $ \left[0 ; 1\right] $ comme différence de deux fonctions continues.
$ f $ est strictement décroissante sur cet intervalle.
$ 0 $ est compris entre $ f\left(1\right)=\cos\left(1\right) - 1\approx - 0,46 $ et $ f\left(0\right)=1 $.
Donc, d'après le corolaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $ f\left(x\right)=0 $ admet une unique solution $ \alpha $ sur $ \left[0; 1\right] $.
D'après la question 1., cette solution est la seule solution sur $ \mathbb{R} $.
A la calculatrice on vérifie que $ f\left(0,73\right) > 0 $ et $ f\left(0,74\right) < 0 $
Donc $ 0,73 < \alpha < 0,74 $
[b][i]Courbe représentative de
$ f $[/b][/i]