Exercice 4 (5 points)
Commun à tous les candidats
On s’intéresse à une espèce de poissons présente dans deux zones différentes (zone 1 et zone 2) de la planète.
A . Etude de la zone 1
On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque poisson observé dans la zone 1 associe sa taille en cm.
Une étude statistique sur ces poissons de la zone 1 a montré que la variable aléatoire $X$ suit une loi normale de moyenne $\mu$ et d’écart type $\sigma =30$. La courbe de la densité de probabilité associée à $X$ est représentée ci-dessous.
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Par lecture graphique, donner la valeur de $\mu$.
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On pêche un de ces poissons dans la zone 1. Donner la probabilité, arrondie à $10^{ – 2}$, d’avoir un
poisson dont la taille est comprise entre 150 cm et 210 cm.
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Un poisson de cette espèce de la zone 1 est considéré comme adulte quand il mesure plus de 120 cm.
On pêche un poisson de l’espèce considérée dans la zone 1. Donner la probabilité, arrondie à $10^{ – 2}$, de pêcher un poisson adulte.
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On considère un nombre $k$ strictement plus grand que la valeur moyenne $\mu$.
Est-il vrai que $P\left(X < k\right) < 0,5$ ? Justifier.
B . Etude de la zone 2
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Certains poissons de la zone 2 sont atteints d’une maladie. On prélève de façon aléatoire un échantillon de 50 poissons de cette espèce dans la zone 2 et on constate que 15 poissons sont malades.
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Calculer la fréquence $f$ de poissons malades dans l’échantillon.
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Déterminer un intervalle de confiance, au niveau de 95%, de la proportion $p$ de poissons malades dans toute la zone 2. On arrondira les bornes au millième.
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Soit $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque poisson de l’espèce considérée de la zone 2, associe sa taille en cm. On admet que la variable aléatoire $Y$ suit la loi normale de moyenne $\mu ^{\prime} =205$ et d’écart type $\sigma ^{\prime}=40$.
En comparant avec le graphique de la zone 1 donné à la question 1 qui représente une loi normale d’écart type $\sigma =30$, dire laquelle des trois courbes ci-dessous représente la densité de probabilité de la variable aléatoire $Y$. Justifier la réponse.
