Exercice 2 (5 points)
(Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)
Le parc informatique d’un lycée est composé de 200 ordinateurs dont :
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30 sont considérés comme neufs ;
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90 sont considérés comme récents ;
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les autres sont considérés comme anciens.
Une étude statistique indique que :
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5 % des ordinateurs neufs sont défaillants ;
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10 % des ordinateurs récents sont défaillants ;
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20 % des ordinateurs anciens sont défaillants.
On choisit au hasard un ordinateur de ce parc.
On note les événements suivants :
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$N$ : « L’ordinateur est neuf » ;
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$R$ : « L’ordinateur est récent » ;
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$A$ : « L’ordinateur est ancien » ;
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$D$ : « L’ordinateur est défaillant » ;
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$\overline{D}$: l’événement contraire de $D$.
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Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
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Calculer la probabilité que l’ordinateur choisi soit neuf et défaillant.
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Démontrer que la probabilité que l’ordinateur choisi soit défaillant est égale à 0,1325.
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Déterminer la probabilité que l’ordinateur soit ancien sachant qu’il est défaillant. Donner le résultat sous forme décimale arrondie au centième.
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Pour équiper le centre de ressources de l’établissement, on choisit au hasard 3 ordinateurs dans le parc. On admet que le parc est suffisamment important pour qu’on puisse assimiler ces choix à des tirages successifs indépendants avec remise.
Déterminer la probabilité qu’exactement un des ordinateurs choisis soit défaillant. Donner le résultat sous forme décimale arrondie au centième.
Corrigé
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Pour trouver $p\left(N\right)$, par exemple, on fait :
$p\left(N\right)=\dfrac{30}{200}=0,15$
(On peut, si l’on préfère, donner les probabilités sous forme de pourcentage ou de fraction)
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La probabilité demandée est :
$p\left(N \cap D\right)=p\left(N\right)\times p_{N}\left(D\right)=0,05\times 0,15=0,0075$
où $p_{N}\left(D\right)$ désigne la probabilité de $D$ sachant $N$
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$N$, $R$ et $A$ forment une partition de l’univers donc :
$p\left(D\right)=p\left(D \cap N\right)+p\left(D \cap R\right)+p\left(D \cap A\right)$
$p\left(D\right)=p\left(N\right)\times p_{N}\left(D\right)+p\left(R\right)\times p_{R}\left(D\right)+p\left(A\right)\times p_{A}\left(D\right)$
$p\left(D\right)=0,15\times 0,05+0,45\times 0,1+ 0,4\times 0,2=0,1325$
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La probabilité cherchée est :
$p_{D}\left(A\right)=\dfrac{p\left(A \cap D\right)}{p\left(D\right)}=\dfrac{p_{A}\left(D\right)\times p\left(A\right)}{p\left(D\right)}$
$p_{D}\left(A\right)=\dfrac{0,2\times 0,4}{0,1325}\approx 0,60$
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On répète une épreuve de Bernouilli 3 fois de manière indépendante. Si on note $X$ la variable aléatoire comptabilisant le nombre d’ordinateurs défaillants, $X$ suit une loi binomiale de paramètres $p=0,1325$ et $n=3$.
La probabilité cherchée est donc :
$$p\left(X=1\right)=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}\times p\times \left(1 – p\right)^{2}=3\times 0,1325\times 0,8675^{2}\approx 0,30$$