Exercice 4 – 6 points
Commun à tous les candidats
La courbe $(C)$ ci-dessous représente, dans un repère orthonormé, une fonction $f$ définie et dérivable sur $[0,5~;6]$.
Les points $A\ (1~;~3)$ et $B$ d’abscisse $1,5$ sont sur la courbe $(C)$.
Les tangentes à la courbe $(C)$ aux points $A$ et $B$ sont aussi représentées en pointillés sur ce graphique, la tangente au point $B$ est horizontale.
On note $f^\prime$ la fonction dérivée de $f$.
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A
Etude graphique
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Déterminer $f^\prime(1,5)$.
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La tangente à la courbe $(C)$ passant par $A$ passe par le point de coordonnées $(0\,;\,2)$. Déterminer une équation de cette tangente.
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Donner un encadrement de l’aire, en unités d’aire et à l’unité près, du domaine compris entre la courbe $(C)$, l’axe des abscisses et les droites d’équations $x=1$ et $x=2$.
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Déterminer la convexité de la fonction $f$ sur $[0,5\,;\,6]$. Argumenter la réponse.
Partie B
Etude analytique
On admet que la fonction $f$ est définie sur $[0,5~;~6]$ par
$f(x) = – 2x+5+3\ln (x).$
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Pour tout réel $x$ de $[0,5~;~6]$, calculer $f^\prime(x)$ et montrer que $f^\prime(x)=\dfrac{ – 2x+3}{x}$.
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Étudier le signe de $f^\prime$ sur $[0,5~;~6]$ puis dresser le tableau de variation de $f$ sur $[0,5~;~6]$.
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Montrer que l’équation $f(x)=0$ admet exactement une solution $\alpha$ sur $[0,5\,;\,6]$.
Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{ – 2}$ près.
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En déduire le tableau de signe de $f$ sur $[0,5~;~6]$.
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On considère la fonction $F$ définie sur $[0,5~;~6]$ par
$F(x)= – x^2 +2x +3x \ln(x)$.
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Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $[0,5~;~6]$.
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En déduire l’aire exacte, en unités d’aire, du domaine compris entre la courbe $(C)$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x = 1$ et $x = 2$. En donner ensuite une valeur arrondie au dixième.
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