Limites et racine carrée

Remarque préliminaire :
$f$ est bien définie sur $\mathbb{R}$ car pour tout $x \in \mathbb{R}$ $x^{2}+x+1 > 0$; en effet le discriminant de $x^{2}+x+1$ vaut $\Delta = – 3 < 0$ donc $x^{2}+x+1$ est toujours du signe de $a=1$ donc strictement positif.

1. En $- \infty$ :

   $x^{2}+x+1=x^{2}\left(1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}\right)$

   Or :

   $\lim\limits_{x\rightarrow – \infty }x^{2}=+\infty$

   $\lim\limits_{x\rightarrow – \infty }\left(1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}\right)=1$

   donc par produit:

   $\lim\limits_{x\rightarrow – \infty }x^{2}+x+1=+\infty$

   On en déduit que

   $\lim\limits_{x\rightarrow – \infty }\sqrt{x^{2}+x+1}=+\infty$ (composition de limites)

   Par ailleurs :

   $\lim\limits_{x\rightarrow – \infty } – x=+\infty$

   donc par somme :

   $\lim\limits_{x\rightarrow – \infty }f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow – \infty }\sqrt{x^{2}+x+1} – x=+\infty$

2. En $+\infty$ :

   On a une forme indéterminée du type «$\infty – \infty$». On lève l’indétermination en multipliant et en divisant par l’expression conjuguée (voir Méthode : Formes indéterminées) :

   $f\left(x\right)=\sqrt{x^{2}+x+1} – x =\dfrac{\left(\sqrt{x^{2}+x+1} – x \right)\left(\sqrt{x^{2}+x+1} + x \right)}{\sqrt{x^{2}+x+1} + x}$

   $f\left(x\right)=\dfrac{\left(\sqrt{x^{2}+x+1}\right)^{2} – x^{2}}{\sqrt{x^{2}+x+1} + x }=\dfrac{x^{2}+x+1 – x^{2}}{\sqrt{x^{2}+x+1} + x }=\dfrac{x+1 }{\sqrt{x^{2}+x+1} + x }$

   Cette fois lorsque l’on fait tendre $x$ vers $+\infty$ on a une forme indéterminée du type «$\dfrac{\infty}{\infty}$»

   Pour lever l’indétermination on met $x$ en facteur au numérateur et au dénominateur.

   Au numérateur :

   $x+1=x \left(1+1/x\right)$

   Au dénominateur :

   $\sqrt{x^{2}+x+1} + x = \sqrt{x^{2}+x+1} + x = \sqrt{x^{2}\left(1+1/x+1/x^{2}\right)} +x$

   Pour $x > 0$, $\sqrt{x^{2}}=x$ donc :

   $\sqrt{x^{2}+x+1} + x = x\sqrt{1+1/x+1/x^{2}} +x = x \left(\sqrt{1+1/x+1/x^{2}} +1\right)$

   On obtient donc après simplification par $x$ :

   $f\left(x\right)=\dfrac{1+1/x}{\sqrt{1+1/x+1/x^{2}} +1}$

   Or

   $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }1+1/x=1$

   $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\sqrt{1+1/x+1/x^{2}} + 1=2$

   donc par quotient :

   $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right)=\dfrac{1}{2}$