Limites fonction rationnelle

1. En $+\infty$ et $- \infty$ :

   On a une forme indéterminée du type «$\dfrac{\infty}{\infty}$» (voir Méthode : Formes indéterminées)

   On factorise par $x$ au numérateur et $x^{2}$ au dénominateur :

   $f\left(x\right)=\dfrac{x\left(1+2/x\right)}{x^{2}\left(1 – 1/x^{2}\right)}=\dfrac{1+2/x}{x\left(1 – 1/x^{2}\right)}$

   Lorsque $x\rightarrow \backslash\\pm \infty$ le numérateur tend vers 1 et le dénominateur tend vers $ \backslash\\pm \infty$ donc :

   $\lim\limits_{x\rightarrow \backslash\\pm \infty }f\left(x\right)=0$

   Remarque : On peut aussi écrire : $\lim\limits_{x\rightarrow \backslash\\pm \infty }\dfrac{x+2}{x^{2} – 1}=\lim\limits_{x\rightarrow \backslash\\pm \infty }\dfrac{x}{x^{2}}=\lim\limits_{x\rightarrow \backslash\\pm \infty }\dfrac{1}{x}=0$

2. En $- 1$ et $+1$

   Le dénominateur tend vers zéro; on a une limite du type «$\dfrac{k}{0}$» (voir Méthode : limite «$k/0$»)

   On peut écrire $f\left(x\right)=\dfrac{x+2}{\left(x – 1\right)\left(x+1\right)}$

   Si $x\rightarrow – 1$ et $x < - 1$ :

   $x+2 > 0$ (tend vers $1$)

   $x – 1 < 0$ (tend vers $- 2$)

   $x+1 < 0$ (car $x < - 1$)

   donc $\lim\limits_{x\rightarrow – 1^ – }f\left(x\right)=+\infty$

   Si $x\rightarrow – 1$ et $x > – 1$ :

   $x+2 > 0$ (tend vers $1$)

   $x – 1 < 0$ (tend vers $- 2$)

   $x+1 > 0$ (car $x > – 1$)

   donc $\lim\limits_{x\rightarrow – 1^+}f\left(x\right)= – \infty$

   Si $x\rightarrow 1$ et $x < 1$ :

   $x+2 > 0$ (tend vers $3$)

   $x+1 > 0$ (tend vers $2$)

   $x – 1 < 0$ (car $x < 1$)

   donc $\lim\limits_{x\rightarrow +1^ – }f\left(x\right)= – \infty$

   Si $x\rightarrow 1$ et $x > 1$ :

   $x+2 > 0$ (tend vers $3$)

   $x+1 > 0$ (tend vers $2$)

   $x – 1 > 0$ (car $x > 1$)

   donc $\lim\limits_{x\rightarrow +1^+}f\left(x\right)=+\infty$

La courbe représentative de $f$ admet :

• une asymptote horizontale d’équation $y=0$

• deux asymptotes verticales d’équations $x= – 1$ et $x=1$