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edit_note Exercices 15 min
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Limites et encadrement

Soit $ f $ une fonction définie sur $ \mathbb{R} $ telle que pour tout réel $ x $ : $ 1\leqslant f\left(x\right)\leqslant 2 $.

Calculer (si cela est possible) les limites suivantes :

  1. $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right)+x $
  2. $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }xf\left(x\right) $
  3. $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{f\left(x\right)}{x} $
  4. $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{f\left(x\right)+x}{x^{2}f\left(x\right)} $

Corrigé

  1. On sait que $ 1\leqslant f\left(x\right) $ donc en ajoutant $ x $ à chaque membre :

    $ f\left(x\right)+x \geqslant 1+x $

    Or, $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }1+x=+\infty $

    donc d'après le théorème de comparaison quand $ x\rightarrow +\infty $ :

    $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right)+x=+\infty $
  2. De même, $ 1\leqslant f\left(x\right) $ donc pour $ x $ positif $ xf\left(x\right)\geqslant x $

    Comme $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x=+\infty $, le même théorème que précédemment permet de conclure que :

    $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }xf\left(x\right)=+\infty $
  3. $ 1\leqslant f\left(x\right)\leqslant 2 $ donc pour $ x $ strictement positif, en multipliant chaque membre par $ \dfrac{1}{x} $ (qui est aussi strictement positif) :

    $ \dfrac{1}{x}\leqslant \dfrac{f\left(x\right)}{x}\leqslant \dfrac{2}{x} $

    Or $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{1}{x}=0 $ et $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{2}{x}=0 $

    Donc d'après le théorème des gendarmes :

    $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{f\left(x\right)}{x}=0 $
  4. On écrit :

    $ \dfrac{f\left(x\right)+x}{x^{2}f\left(x\right)}=\dfrac{f\left(x\right)}{x^{2}f\left(x\right)}+\dfrac{x}{x^{2}f\left(x\right)}=\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{xf\left(x\right)} $

    $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{1}{x^{2}}=0 $

    Ensuite, pour calculer $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{1}{xf\left(x\right)} $ on peut poser $ X=xf\left(x\right) $.

    D'après la question 2. :

    $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }X=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }xf\left(x\right)=+\infty $

    donc $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{1}{xf\left(x\right)}=\lim\limits_{X\rightarrow +\infty }\dfrac{1}{X}=0 $

    Finalement, par somme :

    $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{f\left(x\right)+x}{x^{2}f\left(x\right)}=0 $