(D’après Bac ES Métropole 2009)
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l’intervalle $\left[ – 2 ; 5\right]$, décroissante sur chacun des intervalles $\left[ – 2 ; 0\right]$ et $\left[2 ; 5\right]$ et croissante sur l’intervalle $\left[0 ; 2\right]$.
On note $f^{\prime}$ sa fonction dérivée sur l’intervalle $\left[ – 2 ; 5\right]$.
La courbe $\left(\Gamma \right)$ représentative de la fonction $f$ est tracée ci-dessous dans le plan muni d’un repère orthogonal. Elle passe par les points $A\left( – 2; 9\right), B\left(0; 4\right), C\left(1;4,5\right), D\left(2;5\right)$ et $E\left(4; 0\right)$.
En chacun des points $B$ et $D$. la tangente à la courbe $\left(\Gamma \right)$ est parallèle à l’axe des abscisses.
On note $F$ le point de coordonnées $\left(3; 6\right)$.
La droite $\left(CF\right)$ est la tangente à la courbe $\left(\Gamma \right)$ au point $C$.
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À l’aide des informations précédentes et du graphique ci-dessus, préciser sans justifier :
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les valeurs de $f\left(0\right)$, $f^{\prime}\left(1\right)$ et $f^{\prime}\left(2\right)$.
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le signe de $f^{\prime}\left(x\right)$ suivant les valeurs du nombre réel $x$ de l’intervalle $\left[ – 2; 5\right]$.
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le signe de $f\left(x\right)$ suivant les valeurs du nombre réel $x$ de l’intervalle $\left[ – 2; 5\right]$.
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On considère la fonction $g$ définie par $g\left(x\right)=\ln \left(f\left(x\right)\right)$ où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.
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Expliquer pourquoi la fonction $g$ est définie sur l’intervalle $\left[ – 2; 4\right[$.
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Calculer $g\left( – 2\right), g\left(0\right)$ et $g\left(2\right)$.
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Préciser, en le justifiant, le sens de variations de la fonction $g$ sur l’intervalle $\left[ – 2; 4\right[$.
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$f\left(0\right)=4$
$f^{\prime}\left(1\right)=\dfrac{3}{4}$
$f^{\prime}\left(2\right)=0$
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$g$ est définie si et seulement si $f\left(x\right) > 0$ donc si et seulement si $x\in \left[ – 2; 4\right[$
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$g\left( – 2\right)=\ln\left(f\left( – 2\right)\right)=\ln9=2\ln3$
$g\left(0\right)=\ln\left(f\left(0\right)\right)=\ln4=2\ln2$
$g\left(2\right)=\ln\left(f\left(2\right)\right)=\ln5$
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Sur $\left[ – 2; 4\right[$, $g^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{f^{\prime}\left(x\right)}{f\left(x\right)}$ (voir Formule de dérivation)
La fonction $f$ étant positive sur [-2; 4[ $g^{\prime}\left(x\right)$ est du signe de $f^{\prime}\left(x\right)$.
$g$ est donc strictement croissante sur $\left[0; 2\right]$ et strictement décroissante sur $\left[ – 2; 0\right]$ et sur $\left[2;4\right[$.