[Bac] Lecture graphique – Fonction logarithme

(D'après Bac ES Métropole 2009)

Soit $ f $ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $ \left[ - 2 ; 5\right] $, décroissante sur chacun des intervalles $ \left[ - 2 ; 0\right] $ et $ \left[2 ; 5\right] $ et croissante sur l'intervalle $ \left[0 ; 2\right] $.

On note $ f^{\prime} $ sa fonction dérivée sur l'intervalle $ \left[ - 2 ; 5\right] $.

La courbe $ \left(\Gamma \right) $ représentative de la fonction $ f $ est tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthogonal. Elle passe par les points $ A\left( - 2; 9\right), B\left(0; 4\right), C\left(1;4,5\right), D\left(2;5\right) $ et $ E\left(4; 0\right) $.

En chacun des points $ B $ et $ D $. la tangente à la courbe $ \left(\Gamma \right) $ est parallèle à l'axe des abscisses.

On note $ F $ le point de coordonnées $ \left(3; 6\right) $.

La droite $ \left(CF\right) $ est la tangente à la courbe $ \left(\Gamma \right) $ au point $ C $.

1. À l'aide des informations précédentes et du graphique ci-dessus, préciser sans justifier :

   1. les valeurs de $ f\left(0\right) $, $ f^{\prime}\left(1\right) $ et $ f^{\prime}\left(2\right) $.
   2. le signe de $ f^{\prime}\left(x\right) $ suivant les valeurs du nombre réel $ x $ de l'intervalle $ \left[ - 2; 5\right] $.
   3. le signe de $ f\left(x\right) $ suivant les valeurs du nombre réel $ x $ de l'intervalle $ \left[ - 2; 5\right] $.

2. On considère la fonction $ g $ définie par $ g\left(x\right)=\ln \left(f\left(x\right)\right) $ où $ \ln $ désigne la fonction logarithme népérien.

   1. Expliquer pourquoi la fonction $ g $ est définie sur l'intervalle $ \left[ - 2; 4\right[ $.
   2. Calculer $ g\left( - 2\right), g\left(0\right) $ et $ g\left(2\right) $.
   3. Préciser, en le justifiant, le sens de variations de la fonction $ g $ sur l'intervalle $ \left[ - 2; 4\right[ $.