Exercice 3
Commun à tous les candidats
Un jeu consiste à lancer des fléchettes sur une cible. La cible est partagée en quatre secteurs, comme indiqué sur la figure ci-dessous.
On suppose que les lancers sont indépendants et que le joueur touche la cible à tous les coups.
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Le joueur lance une fléchette.
On note $p_{0}$ la probabilité d’obtenir 0 point.
On note $p_{3}$ la probabilité d’obtenir 3 points.
On note $p_{5}$ la probabilité d’obtenir 5 points.
On a donc $p_{0}+p_{3}+p_{5}=1$.
Sachant que $p_{5}=\dfrac{1}{2}p_{3}$ et que $p_{5}=\dfrac{1}{3}p_{0}$ déterminer les valeurs de $p_{0}$, $p_{3}$ et $p_{5}$· -
Une partie de ce jeu consiste à lancer trois fléchettes au maximum. Le joueur gagne la partie s’il obtient un total (pour les 3 lancers) supérieur ou égal à 8 points. Si au bout de 2 lancers, il a un total supérieur ou égal à 8 points, il ne lance pas la troisième fléchette.
On note $G_{2}$ l’évènement : « le joueur gagne la partie en 2 lancers ».
On note $G_{3}$ l’évènement : « le joueur gagne la partie en 3 lancers ».
On note $P$ l’évènement : « le joueur perd la partie ».
On note $p\left(A\right)$ la probabilité d’un évènement $A$.
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Montrer, en utilisant un arbre pondéré, que $p\left(G_{2}\right)=\dfrac{5}{36}$.
On admettra dans la suite que $p\left(G_{3}\right)=\dfrac{7}{36}$
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En déduire $p \left(P\right)$.
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Un joueur joue six parties avec les règles données à la question 2. Quelle est la probabilité qu’il gagne au moins une partie ?
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Pour une partie, la mise est fixée à 2 €.
Si le joueur gagne en deux lancers, il reçoit 5 €. S’il gagne en trois lancers, il reçoit 3 €. S’il perd, il ne reçoit rien.
On note $X$ la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur pour une partie. Les valeurs possibles pour $X$ sont donc : $- 2, 1$ et $3$.
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Donner la loi de probabilité de $X$.
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Déterminer l’espérance mathématique de $X$. Le jeu est-il favorable au joueur ?
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Corrigé
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$p_{0}+p_{3}+p_{5}=3p_{5}+2p_{5}+p_{5}=6p_{5}=1$
Par conséquent :
$p_{5}=\dfrac{1}{6}$, $p_{3}=2p_{5}=\dfrac{1}{3}$, $p_{0}=2p_{5}=\dfrac{1}{2}$.
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D’après l’arbre ci-dessus :
$p\left(G_{2}\right)=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}\times \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}\times \dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{18}+\dfrac{1}{18}+\dfrac{1}{36}=\dfrac{5}{36}$.
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Les évènements $P$, $G_{2}$ et $G_{3}$ sont incompatibles et forment une partition de l’univers. Donc $p\left(P\right)+p\left(G_{2}\right)+p\left(G_{3}\right)=1$.
Ce qui donne :
$p\left(P\right)=1 – p\left(G_{2}\right) – p\left(G_{3}\right)=1 – \dfrac{5}{36} – \dfrac{7}{36}=\dfrac{24}{36}=\dfrac{2}{3}$.
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Si l’on suppose les lancers indépendants, le nombre de gains suit une loi binomiale de paramètres $p=\dfrac{1}{3}$ et $n=6$.
La probabilité que le joueur perde toutes les parties est $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{6}$. La probabilité que le joueur gagne au moins une partie est $1 – \left(\dfrac{2}{3}\right)^{6}=\dfrac{665}{729}$.
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D’après les questions précédentes :
$p\left(X= – 2\right)=\dfrac{2}{3}$
$p\left(X=1\right)=p\left(G_{3}\right)=\dfrac{7}{36}$
$p\left(X=3\right)=p\left(G_{2}\right)=\dfrac{5}{36}$
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L’espérance mathématique de $X$ est :
$\overline{X}= – 2\times \dfrac{2}{3}+1\times \dfrac{7}{36}+3\times \dfrac{5}{36}= – \dfrac{48}{36}+\dfrac{7}{36}+\dfrac{15}{36}= – \dfrac{26}{36}= – \dfrac{13}{18}$
L’espérance mathématique est négative, donc le jeu n’est pas favorable au joueur.
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