Exercice 4
7 points – Commun à tous les candidats
Partie A
Restitution organisée de connaissances
On supposera connus les résultats suivants :
Soient u et v deux fonctions continues sur un intervalle $\left[a, b\right]$ avec $a < b$.
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Si $u > 0$ sur $\left[a, b\right]$ alors $\int_{a}^{b} u\left(x\right)\text{d}x \geqslant 0$.
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Pour tous réels $\alpha$ et $\beta$, $\int_{a}^{b} \left[\alpha u\left(x\right)+\beta v\left(x\right)\right] \text{d}x=\alpha \int_{a}^{b} u\left(x\right) \text{d}x+\beta \int_{a}^{b} v\left(x\right) \text{d}x.$
Démontrer que si $f$ et g sont deux fonctions continues sur un intervalle $\left[a, b\right]$ avec $a < b$ et si, pour tout $x$ de $\left[a, b\right]$, $f\left(x\right) \leqslant g\left(x\right)$ alors $\int_{a}^{b} f\left(x\right) \text{d}x \leqslant \int_{a}^{b} g\left(x\right) \text{d}x$.
Partie B
On considère la fonction $f$ définie sur $\left[0, +\infty \right[$ par : $f\left(x\right)=x+\ln\left(1+e^{ – x}\right)$. Sa courbe représentative $C$ ainsi que la droite $D$ d’équation $y=x$ sont données ci-dessous dans un repère orthonormal d’unité graphique 2 cm.
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Montrer que $f$ est croissante et positive sur $\left[0 , +\infty \right[$.
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Montrer que la courbe $C$ admet pour asymptote la droite D.
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Etudier la position de $C$ par rapport à D.
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Soit $I$ l’intégrale définie par : $I= \int_{0}^{1} \ln\left(1+e^{ – x}\right) \text{d}x= \int_{0}^{1} \left[f\left(x\right) – x\right] \text{d}x$. On ne cherchera pas à calculer $I$.
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Donner une intérprétation géométrique de $I$.
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Montrer que pour tout réel $t \geqslant 0$, on a $\ln\left(1+t\right) \leqslant t$.
(On pourra étudier les variations de la fonction g définie sur $\left[0,+\infty \right[$ par $g\left(t\right)=\ln\left(1+t\right) – t$)
On admettra que pour tout réel $t \geqslant 0$, on a $\dfrac{t}{t+1} \leqslant \ln\left(1+t\right)$.
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En déduire que pour tout $x$ de $\left[0 , +\infty \right[$, on a : $\dfrac{e^{ – x}}{e^{ – x}+1} \leqslant \ln\left(1+e^{ – x}\right) \leqslant e^{ – x}$.
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Montrer que $\ln\left(\dfrac{2}{1+e^{ – 1}}\right) \leqslant I \leqslant 1 – e^{ – 1}$.
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En déduire un encadrement de I d’amplitude 0,4 par deux nombres décimaux.
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On désigne par M et N les points de même abscisse $x$ appartenant respectivement à $C$ et D.
On juge que M et N sont indiscernables sur le graphique lorsque la distance MN est inférieure à 0,5 mm.
Déterminer l’ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles M et N sont indiscernables.
Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
