Intégrales de Wallis

Partie I - Calcul des premiers termes

1. Calcul de $ I_0 $ et $ I_1 $ :

   $ I_0 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^0 t \, dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} dt = \dfrac{\pi}{2} - 0 = \dfrac{\pi}{2} $ et
   $ I_1 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^1 t \, dt = \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) - \sin(0) = 1. $

2. Soit $ f $ définie sur $ \mathbb{R} $ par : $ f(x) = \sin x \cos^n x $ avec $ n \in \mathbb{N}^* $.
   $ f'(x) = (uv)' = u'v + uv' $ avec :
   $ u = \sin x $ et $ u' = \cos x $, et
   $ v = \cos^n x $ et $ v' = -n \sin x \cos^{n-1} x $.
   On en déduit :
   $ f'(x) = \cos^{n+1} x - n \sin^2 x \cos^{n-1} x $.
   En remarquant que $ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x $, on peut écrire :
   $ f'(x) = \cos^{n+1} x - n \cos^{n-1} x + n \cos^{n+1} x $, soit
   $ f'(x) = (n+1) \cos^{n+1} x - n \cos^{n-1} x $ pour tout $ n \in \mathbb{N}^* $.

   En intégrant cette expression sur $ \left[0 ; \dfrac{\pi}{2}\right] $, on obtient :

   $ \int_0^{\frac{\pi}{2}} f'(x) dx = (n+1) \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^{n+1} x \, dx - n \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^{n-1} x \, dx. $

   Le premier terme de cette égalité est égal à
   $ f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) - f(0) = \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) \cos^n \left(\dfrac{\pi}{2}\right) - \sin(0) \cos^n (0) = 0 $.
   Le second terme est égal à
   $ (n+1)I_{n+1} - n I_{n-1} $.

   On en déduit que pour tout $ n \in \mathbb{N}^* $, $ I_{n+1} = \dfrac{n}{n+1} I_{n-1} $.
   Et si on applique cette formule à l'indice $ n $ de $ I $, on obtient $ I_n = \dfrac{n-1}{n} I_{n-2} $ pour tout $ n > 1 $.

3. L'algorithme de Xavier ne fonctionne pas car il calcule $ I_n $ selon la formule $ I_n = \dfrac{n-1}{n} I_{n-1} $ au lieu de $ I_n = \dfrac{n-1}{n} I_{n-2} $. On propose un algorithme modifié qui utilise une variable supplémentaire, $ V $ :

   VARIABLES
     V, U, Uprec sont des réels
     N, I sont des entiers
   DEBUT ALGORITHME
     Lire N
     Uprec prend la valeur PI/2
     Afficher Uprec
     U prend la valeur 1
     Afficher U
     Pour I allant de 2 à N :
       V prend la valeur Uprec * (I-1) / I
       Uprec prend la valeur U
       Afficher Uprec (donc l'ancien U)
       U prend la valeur V
     Fin Pour
   FIN ALGORITHME

Partie II - Étude de la convergence

1. On a $ \dfrac{n-1}{n} < 1 $, d'où $ I_n < I_{n-2} $ pour tout $ n > 1 $, ce qui montre que $ (I_n) $ est décroissante.
2. On a $ \dfrac{I_n}{I_{n-2}} = \dfrac{n-1}{n} $, d'où $ \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{I_n}{I_{n-2}} = 1 $, ce qui montre que $ (I_n) $ est convergente.
3. On constate que l'égalité $ (n+1)I_n I_{n+1} = \dfrac{\pi}{2} $ est vraie pour $ n = 0 $.
   Si l'égalité $ (n+1)I_n I_{n+1} = \dfrac{\pi}{2} $ est vraie pour un certain entier $ n \geqslant 0 $, montrons qu'elle est vraie pour $ n + 1 $, c'est-à-dire que l'on doit avoir $ (n+2)I_{n+1} I_{n+2} = \dfrac{\pi}{2} $. Comme d'après I.1 :
   $ I_{n+2} = \dfrac{n+1}{n+2} I_n $, on peut écrire :
   $ (n+2) I_{n+1} I_{n+2} = (n+2) I_{n+1} \dfrac{n+1}{n+2} I_n = (n+1) I_n I_{n+1} = \dfrac{\pi}{2} $.
   Et, par récurrence, l'égalité $ (n+1)I_n I_{n+1} = \dfrac{\pi}{2} $ est démontrée pour tout $ n \geqslant 0 $.

4. On a vu que la suite $ (I_n) $ est convergente, ce qui veut dire que ses termes $ I_n $ tendent vers une limite $ l $ quand $ n $ tend vers $ +\infty $. On peut alors écrire que :

   $ \lim\limits_{n \to +\infty} I_n I_{n+1} = l^2 = \lim\limits_{n \to +\infty} \left[ \dfrac{\pi}{2(n+1)} \right] = 0. $

   D'où $ l = \lim\limits_{n \to +\infty} I_n = 0 $.

(Solution rédigée par Paki)