Intégrales de Wallis

On considère la suite $(I_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :

$I_n= \int_0^{ \dfrac{ \pi } {2}}\cos^nt\ dt$

Partie I – Calcul des premiers termes

1. Calculer $I_0$ et $I_1$

2. Soit $n$ un entier naturel strictement supérieur à $1$ et $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\sin x\cos^{n}x$.

   Montrer que $f^{\prime}(x)=(n+1)\cos^{n+1} x – n\cos^{n – 1}x$

   En déduire que pour entier $n > 1$ : $I_n= \dfrac{n – 1}{n}\ I_{n – 2}$

3. Xavier souhaite écrire un programme calculant les $N$ premiers termes de la suite $(I_n)$ pour $N > 1$.

   Il propose l’algorithme suivant :

   VARIABLES
U, Uprec sont des réels
N, I sont des entiers
DEBUT ALGORITHME
Lire N
Uprec prend la valeur PI/2
Afficher Uprec
U prend la valeur 1
Afficher U
Pour I allant de 2 à N
Uprec prend la valeur U
U prend la valeur Uprec*(I-1)/I
Afficher U
Fin Pour
FIN ALGORITHME

   Il remarque toutefois que son programme ne fonctionne pas correctement.

   Après avoir analysé l’algorithme de Xavier, indiquer l’erreur commise et corriger l’algorithme afin qu’il affiche correctement les $N$ premiers termes de la suite $(I_n)$.

Partie II – Étude de la convergence

1. Montrer que la suite $(I_n)$ est décroissante.

2. Montrer que la suite $(I_n)$ est convergente.

3. Montrer par récurrence que pour tout entier $n \geqslant 0$ : $\left(n+1\right)I_nI_{n+1}= \dfrac{ \pi }{2}$

   (On pourra utiliser le résultat de la question I.2.)

4. En déduire $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty } I_n$.