Exercice 2 (4 points)
Commun à tous les candidats
On considère la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ de l’intervalle $\left[0 ; 1\right]$ par : $g\left(x\right)=1+e^{ – x}$.
On admet que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $\left[0 ; 1\right]$, $g\left(x\right) > 0$.
On note $\mathscr C$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthogonal, et $\mathscr D$ le domaine plan compris d’une part entre l’axe des abscisses et la courbe $\mathscr C$, d’autre part entre les droites d’équation $x=0$ et $x=1$.
La courbe $\mathscr C$ et le domaine $\mathscr D$ sont représentés ci-dessous.
Le but de cet exercice est de partager le domaine $\mathscr D$ en deux domaines de même aire, d’abord par une droite parallèle à l’ axe des ordonnées (partie A), puis par une droite parallèle à l’axe des abscisses (partie B).
Partie A
Soit $a$ un réel tel que $0\leqslant a\leqslant 1$.
On note $\mathscr A_{1}$ l’aire du domaine compris entre la courbe $\mathscr C$, l’axe $\left(Ox\right)$,les droites d’équation $x=0$ et $x =a$ , puis $\mathscr A_{2}$ celle du domaine compris entre la courbe $\mathscr C$, l’axe $\left(Ox\right)$ et les droites d’équation $x=a$ et $x=1$.
$\mathscr A_{1}$ et $\mathscr A_{2}$ sont exprimées en unités d’aire.
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Démontrer que $\mathscr A_{1}=a – e^{ – a}+1$.
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Exprimer $\mathscr A_{2}$ en fonction de $a$.
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Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ de l’intervalle $\left[0 ; 1\right]$ par : $f\left(x\right)=2x – 2e^{ – x}+\dfrac{1}{e}$.
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Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $\left[0 ; 1\right]$. On précisera les valeurs exactes de $f\left(0\right)$ et $f\left(1\right)$.
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Démontrer que la fonction $f$ s’annule une fois et une seule sur l’intervalle $\left[0 ; 1\right]$. en un réel $\alpha$. Donner la valeur de $\alpha$ arrondie au centième.
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En utilisant les questions précédentes, déterminer une valeur approchée de réel $a$ pour lequel les aires $\mathscr A_{1}$ et $\mathscr A_{2}$ sont égales.
Partie B
Dans cette partie, on se propose de partager le domaine $\mathscr D$ en deux domaines de même aire par la droite d’équation $y=b$. On admet qu’Il existe un unique réel $b$ positif solution.
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Justifier l’inégalité $b < 1+\dfrac{1}{e}$. On pourra utiliser un argument graphique.
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Déterminer la valeur exacte du réel $b$
