Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Soit une variable aléatoire $ X $ représentant la note (sur 20) d'un élève à un examen. On sait que :
- La moyenne des notes est $ \mu = 12 $
- La variance des notes est $ V = 4 $
- Calculez l'écart-type $ \sigma $ de la distribution des notes.
- Utilisez l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour minorer la probabilité que la note d'un élève soit comprise entre 10 et 14.
- Utilisez l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour minorer la probabilité que la note d'un élève soit comprise entre 8 et 16.
Corrigé
L'écart-type $ \sigma $ est la racine carrée de la variance $ V $.
On a :$ \sigma = \sqrt{V} = \sqrt{4} = 2 $L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev stipule que pour tout réel $ k > 0 $ :
$ P(|X - \mu| \ge k) \le \dfrac{V}{k^2} $Ou encore, pour la probabilité de l'événement contraire :
$ P(|X - \mu| < k) \ge 1 - \dfrac{V}{k^2} $On cherche à minorer la probabilité que la note soit comprise entre 10 et 14.
L'événement $ 10 \le X \le 14 $ correspond à $ 12 - 2 \le X \le 12 + 2 $, soit $ |X - 12| \le 2 $.
En prenant $ k = 2 $, on applique l'inégalité :$ P(|X - 12| \le 2) \ge 1 - \dfrac{V}{2^2} $$ P(10 \le X \le 14) \ge 1 - \dfrac{4}{4} = 0 $L'inégalité nous donne une minoration de 0, ce qui est toujours vrai pour une probabilité mais n'apporte pas d'information supplémentaire ici.
On cherche à minorer la probabilité que la note soit comprise entre 8 et 16.
L'événement $ 8 \le X \le 16 $ correspond à $ 12 - 4 \le X \le 12 + 4 $, soit $ |X - 12| \le 4 $.
En prenant $ k = 4 $, on applique l'inégalité :$ P(|X - 12| \le 4) \ge 1 - \dfrac{V}{4^2} $$ P(8 \le X \le 16) \ge 1 - \dfrac{4}{16} $$ P(8 \le X \le 16) \ge 1 - 0,25 = 0,75 $La probabilité que la note soit comprise entre 8 et 16 est donc d'au moins $ 0,75 $ (soit $ 75 \% $).