Exercice 5
(3 points) – Commun à tous les candidats
On considère un cube ABCDEFGH fourni en annexe (ci-dessous).
L’espace est rapporté au repère $\left(A~;~ \overrightarrow{AB},~ \overrightarrow{AD},~ \overrightarrow{AE}\right)$.
On note $\mathscr{P}$ le plan d’équation $x+\dfrac{1}{2} y +\dfrac{1}{3}z – 1 = 0$.
Construire, sur la figure fournie en annexe, la section du cube par le plan $\mathscr{P}$.
La construction devra être justifiée par des calculs ou des arguments géométriques.
ANNEXE à compléter et à remettre avec la copie
Corrigé
La première chose à faire est d’essayer de représenter le plan $\mathscr P$.
Pour définir un plan, il suffit de trois points non alignés de ce plan.
On pourrait choisir « au hasard » trois points dont les coordonnées vérifient l’équation $x+\dfrac{1}{2} y +\dfrac{1}{3}z – 1 = 0$ mais la construction risquerait d’être alors difficile.
Le plus simple, ici, est de déterminer les points du plan $\mathscr P$ situés sur les axes $(AB)$, $(AD)$ et $(AE)$, c’est à dire les points d’intersection de $\mathscr P$ avec ces axes.
Les points de l’axe $(AB)$ ont une ordonnée et une cote nulles ($y=0$ et $z=0$). Le point de cet axe appartenant à $\mathscr P$ vérifie, de plus, l’équation $x+\dfrac{1}{2} y +\dfrac{1}{3}z – 1 = 0$. C’est donc le point de coordonnées $(1~;~0~;~0)$ c’est à dire le point $B$.
Par un raisonnement similaire, le point d’intersection de $\mathscr P$ avec l’axe $(AD)$ est le point $I(0~;~2~;~0)$ (voir figure ci-dessous).
De même, le point d’intersection de $\mathscr P$ avec l’axe $(AE)$ est le point $J(0~;~0~;~3)$.
Le plan $\mathscr P$ est donc le plan $(BIJ)$.
Il est alors assez simple de tracer la section demandée. On commence par tracer le triangle $(BIJ)$(qui permet de visualiser le plan $\mathscr P$).
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l’intersection de $\mathscr P$ et de la face $ABFE$ est le segment $[BK]$ (voir figure ci-dessous)
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l’intersection de $\mathscr P$ et de la face $ABCD$ est le segment $[BL]$ (voir figure ci-dessous)
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il suffit ensuite de tracer les parallèles à $(BK)$ et $(BL)$ passant respectivement par $L$ et $K$ pour terminer la section (car un plan coupe deux plans parallèles selon deux droites parallèles).
La section du cube par le plan $\mathscr{P}$ est donc le parallélogramme $BLMK$