Géométrie dans l’espace – Bac S Pondichéry 2017
Exercice 5
(3 points) - Commun à tous les candidats
On considère un cube ABCDEFGH fourni en annexe (ci-dessous).
L'espace est rapporté au repère $ \left(A~;~ \overrightarrow{AB},~ \overrightarrow{AD},~ \overrightarrow{AE}\right) $.
On note $ \mathscr{P} $ le plan d'équation $ x+\dfrac{1}{2} y +\dfrac{1}{3}z - 1 = 0 $.
Construire, sur la figure fournie en annexe, la section du cube par le plan $ \mathscr{P} $.
La construction devra être justifiée par des calculs ou des arguments géométriques.
ANNEXE à compléter et à remettre avec la copie
Corrigé
La première chose à faire est d'essayer de représenter le plan $ \mathscr P $.
Pour définir un plan, il suffit de trois points non alignés de ce plan.
On pourrait choisir "au hasard" trois points dont les coordonnées vérifient l'équation $ x+\dfrac{1}{2} y +\dfrac{1}{3}z - 1 = 0 $ mais la construction risquerait d'être alors difficile.
Le plus simple, ici, est de déterminer les points du plan $ \mathscr P $ situés sur les axes $ (AB) $, $ (AD) $ et $ (AE) $, c'est à dire les points d'intersection de $ \mathscr P $ avec ces axes.
Les points de l'axe $ (AB) $ ont une ordonnée et une cote nulles ($ y=0 $ et $ z=0 $). Le point de cet axe appartenant à $ \mathscr P $ vérifie, de plus, l'équation $ x+\dfrac{1}{2} y +\dfrac{1}{3}z - 1 = 0 $. C'est donc le point de coordonnées $ (1~;~0~;~0) $ c'est à dire le point $ B $.
Par un raisonnement similaire, le point d'intersection de $ \mathscr P $ avec l'axe $ (AD) $ est le point $ I(0~;~2~;~0) $ (voir figure ci-dessous).
De même, le point d'intersection de $ \mathscr P $ avec l'axe $ (AE) $ est le point $ J(0~;~0~;~3) $.
Le plan $ \mathscr P $ est donc le plan $ (BIJ) $.
Il est alors assez simple de tracer la section demandée. On commence par tracer le triangle $ (BIJ) $(qui permet de visualiser le plan $ \mathscr P $).
- l'intersection de $ \mathscr P $ et de la face $ ABFE $ est le segment $ [BK] $ (voir figure ci-dessous)
- l'intersection de $ \mathscr P $ et de la face $ ABCD $ est le segment $ [BL] $ (voir figure ci-dessous)
- il suffit ensuite de tracer les parallèles à $ (BK) $ et $ (BL) $ passant respectivement par $ L $ et $ K $ pour terminer la section (car un plan coupe deux plans parallèles selon deux droites parallèles).
La section du cube par le plan $ \mathscr{P} $ est donc le parallélogramme $ BLMK $