Géométrie dans l’espace – Bac S Pondichéry 2016

Partie A

• Les points $I, J,C$ et $G$ sont coplanaires. Pour placer le point $L$, il suffit de prolonger les droites $(IJ)$ et $(GC)$.

• Les points $K$ et $L$ appartiennent tous deux aux plans $IJK$ et $CDH$. L’intersection$\mathscr{D}$ de ces plans est donc la droite $(LK)$. Cette droite coupe le côté $[DH]$ en un point $P$.

• La section du cube par le plan $(IJK)$ a pour côtés $[IJ], [JK]$ et $[KP]$. Les trois autres côtés s’obtiennent en traçant les parallèles à $[IJ], [JK]$ et $[KP]$. On obtient ainsi un hexagone régulier $IJKPQR$.

Partie B

1. Par lecture directe :

   $A(0;0;0)$

   $G(1;1;1)$

   $I\left(1;0;\dfrac{1}{2}\right)$

   $J\left(1;\dfrac{1}{2};0\right)$

   $K\left(\dfrac{1}{2};1;0\right)$

2. 1. Pour montrer que le vecteur $\overrightarrow{AG}$ est normal au plan $(IJK)$, il suffit de montrer que $\overrightarrow{AG}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan, par exemple $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{JK}$.

      • Les coordonnées de $\overrightarrow{IJ}$ sont $$\begin{pmatrix} 0 \\ 1/2 \\ – 1/2 \end{pmatrix}$$ et \les coordonnées de $\overrightarrow{AG}$ sont $$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$.

        $\overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{AG}=0 \times 1+\dfrac{1}{2} \times 1 – \dfrac{1}{2} \times 1 = 0$

        Donc \les \vecteurs $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{AG}$ sont orthogonaux.

      • Les coordonnées de $\overrightarrow{JK}$ sont $$\begin{pmatrix} – 1/2 \\ 1/2 \\ 0 \end{pmatrix}$$.

        $\overrightarrow{JK}.\overrightarrow{AG}= – \dfrac{1}{2} \times 1+\dfrac{1}{2} \times 1 +0 \times 1= 0$

        Donc \les \vecteurs $\overrightarrow{JK}$ et $\overrightarrow{AG}$ sont orthogonaux.

      Le \vecteur $\overrightarrow{AG}$ est donc normal au plan $(IJK)$.

   2. Le plan $(IJK)$ admet donc une équation cartésienne de la forme $x+y+z+d=0$.

      Ce plan passant par $I$, \les coordonnées de $I$ vérifient l’équation.

      Par conséquent :

      $1+0+\dfrac{1}{2}+d=0$

      $d= – \dfrac{3}{2}$

      Une équation cartésienne du plan $(IJK)$ est donc $x+y+z – \dfrac{3}{2}=0$

3. 1. Les coordonnées du point $G$ é\tant $(1;1;1)$ et $A$ é\tant l’origine du repère, la relation $\overrightarrow{AM} = t\overrightarrow{AG}$ entraî\ne que \les coordonnées de $M$ sont $(t;t;t)$.

      Alors :

      $MI^2=(1 – t)^2+( – t)^2+ \left(\dfrac{1}{2} – t \right)^2$

      $\phantom{MI^2}=1 – 2t+t^2+t^2+\dfrac{1}{4} – t +t^2$

      $\phantom{MI^2}= 3t^2 – 3t+\dfrac{5}{4}$

   2. La fonction carrée é\tant strictement croissante sur $\mathbb{R}^+$, $MI^2$ et $MI$ ont des sens de variations identiques.

      $MI^2$ est un polynôme du second degré en $t$ de coefficients $a=3,\ b= – 3$ et $c=\dfrac{5}{4}$.

      $a>0$ donc $MI^2$ admet un minimum pour $t_0= – \dfrac{b}{2a}=\dfrac{1}{2}$. Les coordonnées de $M$ sont alors $\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right)$.

      La distance $MI$ est donc minimale au point $M\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right)$

4. 1. Pour prouver que \le point $M$ appartient au plan $(IJK)$, il suffit de montrer que \les coordonnées de $M$ vérifient l’équation du plan $(IJK)$ (trouvée en 2.a.).

      C’est immédiat :

      $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2} – \dfrac{3}{2}=0$

   2. Pour montrer que deux droites sont \perpendiculaires ils faut montrer qu’elles sont orthogonales et sécantes.

      • $(IM)$ et $(AG)$ sont sécantes en $M$ puisque, par hypothèse, $M$ est un point du segment $[AG]$. Par ailleurs, $(IM)$ est \incluse dans \le plan $(IJK)$ qui est \perpendiculaire à $(AG)$ d’après 2.a. donc $(IM)$ et $(AG)$ sont orthogonales.

      • $(IM)$ et $(BF)$ sont sécantes en $I$.

        Les coordonnées des \vecteurs $\overrightarrow{IM}$ et $\overrightarrow{BF}$ sont $$\overrightarrow{IM}\begin{pmatrix} – 1/2 \\ 1/2 \\ 0 \end{pmatrix}$$et $$\overrightarrow{BF}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$

        $\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{BF}= – \dfrac{1}{2} \times 0 + \dfrac{1}{2} \times 0 + 0 \times 1=0$.

        Donc $(IM)$ et $(BF)$ sont orthogonales.

      La droite ($IM$) est donc \perpendiculaire aux droites $(AG)$ et $(BF)$.