Exercice 1 (5 points)
Commun à tous les candidats
On se place dans l’espace muni d’un repère orthonormé.
On considère les points $A\left(0 ; 4 ; 1\right), B \left(1 ; 3 ; 0\right), C\left(2 ; – 1 ; – 2\right)$ et $D \left(7 ; – 1 ; 4\right)$.
-
Démontrer que les points $A, B$ et $C$ ne sont pas alignés.
-
Soit $\Delta$ la droite passant par le point $D$ et de vecteur directeur
$\vec{u} \left(2 ; – 1 ; 3\right)$.
-
Démontrer que la droite $\Delta$ est orthogonale au plan $\left(ABC\right)$.
-
En déduire une équation cartésienne du plan $\left(ABC\right)$.
-
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
-
Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite $\Delta$ et du plan $\left(ABC\right)$.
-
-
Soit $\mathscr P_{1}$ le plan d’équation $x+y+z=0$ et $\mathscr P_{2}$ le plan d’équation $x+4y+2=0$.
-
Démontrer que les plans $\mathscr P_{1}$ et $\mathscr P_{2}$ sont sécants.
-
Vérifier que la droite $d$, intersection des plans $\mathscr P_{1}$ et $\mathscr P_{2}$, a pour représentation paramétrique
$$\left\{ \begin{matrix} x = – 4t – 2 \\ y = t \\ z = 3t+2 \end{matrix}\right. \qquad t \in \mathbb{R}$$.
-
La droite $d$ et \le plan $\left(ABC\right)$ sont-ils sécants ou parallèles ?
-