Géométrie dans l’espace – Bac S Nouvelle Calédonie 2016
Exercice 3 - 6 points
Commun à tous les candidats
Dans le repère orthonormé $ (O~;~\vec{i},\vec{j},\vec{k}) $ de l'espace, on considère pour tout réel $ m $, le plan $ P_m $ d'équation
- Pour quelle(s) valeur(s) de $ m $ le point $ A(1~;~1~;~1) $ appartient-il au plan $ P_m $ ?
Montrer que les plans $ P_1 $ et $ P_{ - 4} $ sont sécants selon la droite $ (d) $ de représentation paramétrique
$ (d) \ \begin{cases} x = 12 - 2t \\ y = 9 - 2t \\ z = t \end{cases} \quad $avec
$ t \in \mathbb{R} $- Montrer que l'intersection entre $ P_0 $ et $ (d) $ est un point noté $ B $ dont on déterminera les coordonnées.
- Justifier que pour tout réel $ m $, le point $ B $ appartient au plan $ P_m $.
- Montrer que le point $ B $ est l'unique point appartenant à $ P_m $ pour tout réel $ m $.
Dans cette question, on considère deux entiers relatifs $ m $ et $ m^\prime $ tels que
$ - 10 \leqslant m \leqslant 10 $et
$ - 10 \leqslant m^\prime \leqslant 10 $.On souhaite déterminer les valeurs de $ m $ et de $ m^\prime $ pour lesquelles $ P_m $ et $ P_{m^\prime} $ sont perpendiculaires.
- Vérifier que $ P_1 $ et $ P_{ - 4} $ sont perpendiculaires.
Montrer que les plans $ P_m $ et $ P_{m^\prime} $ sont perpendiculaires si et seulement si
$ \left(\dfrac{mm^\prime}{4}\right)^2 +(m - 1)\left(m^\prime - 1\right)+\dfrac{mm^\prime}{4} = 0. $On donne l'algorithme suivant :
Variables : $ m $ et $ m^\prime $ entiers relatifs Traitement : Pour $ m $ allant de $ - 10 $ à $ 10 $ : $ \quad $Pour $ m^\prime $ allant de $ - 10 $ à $ 10 $ : $ \quad \quad $Si $ \left(mm^\prime\right)^2+16(m - 1)\left(m^\prime - 1\right)+4mm^\prime = 0 $ $ \quad \quad $Alors $ \quad \quad \quad $Afficher $ \left(m~;~m^\prime\right) $ $ \quad \quad $Fin du Si $ \quad $Fin du Pour Fin du Pour Quel est le rôle de cet algorithme?
- Cet algorithme affiche six couples d'entiers dont $ ( - 4~;~1),\: (0~;~1) $ et $ (5~;~ - 4) $.
Écrire les six couples dans l'ordre d'affichage de l'algorithme.
Corrigé
Le point $ A(1~;~1~;~1) $ appartient au plan $ P_m $ si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation du plan :
$ \dfrac{1}{4} m^2(1) + (m - 1)(1) + \dfrac{1}{2} m(1) - 3 = 0 $$ \dfrac{1}{4} m^2 + m - 1 + \dfrac{1}{2} m - 3 = 0 $
$ \dfrac{1}{4} m^2 + \dfrac{3}{2} m - 4 = 0 $
Multiplions par 4 pour simplifier :
$ m^2 + 6m - 16 = 0 $C'est une équation du second degré. Le discriminant est :
$ \Delta = 6^2 - 4 \times 1 \times (-16) = 36 + 64 = 100 = 10^2 $Les solutions sont :
$ m_1 = \dfrac{-6 - 10}{2} = -8 $ et $ m_2 = \dfrac{-6 + 10}{2} = 2 $Le point $ A $ appartient au plan $ P_m $ pour $ m = -8 $ ou $ m = 2 $.Déterminons les équations des plans $ P_1 $ et $ P_{-4} $ :
Pour $ m = 1 $ : $ \dfrac{1}{4}x + 0y + \dfrac{1}{2}z - 3 = 0 $, soit $ x + 2z - 12 = 0 $
Pour $ m = -4 $ : $ \dfrac{1}{4}(-4)^2x + (-4 - 1)y + \dfrac{1}{2}(-4)z - 3 = 0 $, soit $ 4x - 5y - 2z - 3 = 0 $Les vecteurs normaux sont $\vec{n}_1(1~;~0~;~2)$ et $\vec{n}_{-4}(4~;~-5~;~-2)$.
Ces vecteurs ne sont pas colinéaires (le rapport des abscisses est 4, celui des ordonnées n'est pas défini), donc les plans sont sécants.Vérifions si la droite $ (d) $ appartient aux deux plans. Soit $ M(12-2t~;~9-2t~;~t) $ un point de $ (d) $.
Dans $ P_1 $ : $ (12-2t) + 2(t) - 12 = 12 - 2t + 2t - 12 = 0 $. La condition est vérifiée.
Dans $ P_{-4} $ : $ 4(12-2t) - 5(9-2t) - 2(t) - 3 = 48 - 8t - 45 + 10t - 2t - 3 = 0 $. La condition est vérifiée.Les plans $ P_1 $ et $ P_{-4} $ sont bien sécants selon la droite $ (d) $.L'équation de $ P_0 $ est $ (0-1)y + 0z - 3 = 0 $, soit $ -y - 3 = 0 $, donc $ y = -3 $.
Un point $ M(12-2t~;~9-2t~;~t) $ de $ (d) $ appartient à $ P_0 $ si :
$ 9 - 2t = -3 $
$ -2t = -12 $
$ t = 6 $En remplaçant $ t = 6 $ dans les coordonnées de $ (d) $ :
$ x = 12 - 2(6) = 0 $
$ y = 9 - 2(6) = -3 $
$ z = 6 $Le point d'intersection est $ B(0~;~-3~;~6) $.Remplaçons les coordonnées de $ B(0~;~-3~;~6) $ dans l'équation de $ P_m $ :
$ \dfrac{1}{4}m^2(0) + (m - 1)(-3) + \dfrac{1}{2}m(6) - 3 = -3m + 3 + 3m - 3 = 0 $
La relation est vraie pour tout réel $ m $.Pour tout réel $ m $, le point $ B $ appartient au plan $ P_m $.Un point $ M(x~;~y~;~z) $ appartient à $ P_m $ pour tout $ m $ si l'égalité suivante est vérifiée pour tout $ m $ :
$ \dfrac{1}{4}x m^2 + \left(\dfrac{1}{2}z + y\right)m - y - 3 = 0 $C'est un polynôme en $ m $ qui est nul pour tout $ m $. Ses coefficients doivent donc être nuls :
$ \begin{cases} \dfrac{1}{4}x = 0 \\ \dfrac{1}{2}z + y = 0 \\ -y - 3 = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x = 0 \\ y = -3 \\ z = -2y = 6 \end{cases} $Le point $ B(0~;~-3~;~6) $ est donc l'unique point appartenant à tous les plans $ P_m $.
Les vecteurs normaux sont $\vec{n}_1(1~;~0~;~2)$ (pour $ P_1 $ multiplié par 4) et $\vec{n}_{-4}(4~;~-5~;~-2)$.
Leur produit scalaire est :
$ \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_{-4} = 1 \times 4 + 0 \times (-5) + 2 \times (-2) = 4 + 0 - 4 = 0 $Les plans $ P_1 $ et $ P_{-4} $ sont donc perpendiculaires.Les plans $ P_m $ et $ P_{m'} $ sont perpendiculaires si et seulement si le produit scalaire de leurs vecteurs normaux est nul.
Vecteurs normaux : $ \vec{n}_m\left(\dfrac{1}{4}m^2~;~m-1~;~\dfrac{1}{2}m\right) $ et $ \vec{n}_{m'}\left(\dfrac{1}{4}m'^2~;~m'-1~;~\dfrac{1}{2}m'\right) $.
$ \vec{n}_m \cdot \vec{n}_{m'} = 0 \iff \dfrac{1}{4}m^2 \times \dfrac{1}{4}m'^2 + (m-1)(m'-1) + \dfrac{1}{2}m \times \dfrac{1}{2}m' = 0 $
$ \vec{n}_m \cdot \vec{n}_{m'} = 0 \iff \left(\dfrac{mm'}{4}\right)^2 + (m-1)(m'-1) + \dfrac{mm'}{4} = 0 $La condition est donc vérifiée.Cet algorithme parcourt tous les couples d'entiers $ (m~;~m') $ compris entre $ -10 $ et $ 10 $.
Il teste si l'égalité $ (mm')^2 + 16(m - 1)(m' - 1) + 4mm' = 0 $ est vraie.
Cette égalité est équivalente à celle de la question précédente multipliée par 16.L'algorithme affiche les couples d'entiers $ (m~;~m') $ pour lesquels les plans $ P_m $ et $ P_{m'} $ sont perpendiculaires.Les six couples sont :
$ (-4~;~1) $, $ (-4~;~5) $, $ (0~;~1) $, $ (1~;~-4) $, $ (1~;~0) $ et $ (5~;~-4) $.Classons-les dans l'ordre d'affichage (par $ m $ croissant, puis $ m' $) :
$ m = -4 \implies m' = 1 $ et $ m' = 5 $
$ m = 0 \implies m' = 1 $
$ m = 1 \implies m' = -4 $ et $ m' = 0 $
$ m = 5 \implies m' = -4 $Les couples dans l'ordre d'affichage sont :
$ (-4~;~1), (-4~;~5), (0~;~1), (1~;~-4), (1~;~0), (5~;~-4) $.