Exercice 3 – 6 points
Commun à tous les candidats
Dans le repère orthonormé $(O~;~\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ de l’espace, on considère pour tout réel $m$, le plan $P_m$ d’équation
$\dfrac{1}{4} m^2x+(m – 1)y+\dfrac{1}{2} mz – 3 = 0.$
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Pour quelle(s) valeur(s) de $m$ le point $A(1~;~1~;~1)$ appartient-il au plan $P_m$ ?
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Montrer que les plans $P_1$ et $P_{ – 4}$ sont sécants selon la droite $(d)$ de représentation paramétrique
$$(d) \ \begin{cases} x = 12 – 2t \\ y = 9 – 2t \\ z = t \end{cases} \quad$$ avec $t \in \mathbb{R}$
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Montrer que l’\intersection entre $P_0$ et $(d)$ est un point noté $B$ dont on déterminera \les coordonnées.
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Justifier que pour tout réel $m$, \le point $B$ appartient au plan $P_m$.
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Montrer que \le point $B$ est l’unique point appartenant à $P_m$ pour tout réel $m$.
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Dans cette question, on considère deux entiers relatifs $m$ et $m^\prime$ tels que
$- 10 \leqslant m \leqslant 10$ et $- 10 \leqslant m^\prime \leqslant 10$.
On souhaite déterminer \les valeurs de $m$ et de $m^\prime$ pour \lesquelles $P_m$ et $P_{m^\prime}$ sont \perpendiculaires.
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Vérifier que $P_1$ et $P_{ – 4}$ sont \perpendiculaires.
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Montrer que \les plans $P_m$ et $P_{m^\prime}$ sont \perpendiculaires si et seulement si
$\left(\dfrac{mm^\prime}{4}\right)^2 +(m – 1)\left(m^\prime – 1\right)+\dfrac{mm^\prime}{4} = 0.$
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On donne l’algorithme suivant :
Variables : $m$ et $m^\prime$ entiers relatifs Traitement : Pour $m$ allant de $- 10$ à $10$ : $\quad$Pour $m^\prime$ allant de $- 10$ à $10$ : $\quad \quad$Si $\left(mm^\prime\right)^2+16(m – 1)\left(m^\prime – 1\right)+4mm^\prime = 0$ $\quad \quad$Alors $\quad \quad \quad$Afficher $\left(m~;~m^\prime\right)$ $\quad \quad$Fin du Si $\quad$Fin du Pour Fin du Pour Quel est \le rô\le de cet algorithme?
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Cet algorithme affiche six couples d’entiers dont $( – 4~;~1),\: (0~;~1)$ et $(5~;~ – 4)$.
Écrire les six couples dans l’ordre d’affichage de l’algorithme.
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